题目：
设随机变量 X X X 的概率密度函数为 f ( x ) = a + b x f(x) = a + bx f(x)=a+bx，其中 0 < x ≤ 1 0 < x \leq 1 0<x≤1； f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0，在其他情况下。已知 P ( X ≤ 1 / 2 ) = 3 / 8 P(X \leq 1/2) = 3/8 P(X≤1/2)=3/8，求 a a a 和 b b b。
涉及知识点：
- 概率密度函数（PDF）：概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x) 用于描述连续随机变量的概率分布，满足 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 ∫−∞∞f(x)dx=1。
- 累积分布函数（CDF）：累积分布函数 F ( x ) F(x) F(x) 是 PDF 的积分，表示随机变量 X X X 小于或等于某个值 x x x 的概率，即 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt F(x)=∫−∞xf(t)dt。
- 条件概率：利用已知条件计算随机变量的参数。
题目解答：
-
确定 a a a 和 b b b 的条件：
- 概率密度函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
0
<
x
≤
1
0 < x \leq 1
0<x≤1 内有效，因此：
∫ 0 1 f ( x ) d x = 1 \int_0^1 f(x) \, dx = 1 ∫01f(x)dx=1
即：
∫ 0 1 ( a + b x ) d x = 1 \int_0^1 (a + bx) \, dx = 1 ∫01(a+bx)dx=1
- 概率密度函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
0
<
x
≤
1
0 < x \leq 1
0<x≤1 内有效，因此：
-
计算累积分布函数 F ( x ) F(x) F(x)：
- 对
f
(
x
)
=
a
+
b
x
f(x) = a + bx
f(x)=a+bx 进行积分得到
F
(
x
)
F(x)
F(x)，并利用已知条件
P
(
X
≤
1
/
2
)
=
3
/
8
P(X \leq 1/2) = 3/8
P(X≤1/2)=3/8：
F ( x ) = ∫ 0 x ( a + b x ) d x = a x + b x 2 2 F(x) = \int_0^x (a + bx) \, dx = ax + \frac{bx^2}{2} F(x)=∫0x(a+bx)dx=ax+2bx2
代入 x = 1 / 2 x = 1/2 x=1/2：
F ( 1 2 ) = a ⋅ 1 2 + b ( 1 2 ) 2 2 = a 2 + b 8 = 3 8 F\left(\frac{1}{2}\right) = a \cdot \frac{1}{2} + \frac{b \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2} = \frac{a}{2} + \frac{b}{8} = \frac{3}{8} F(21)=a⋅21+2b(21)2=2a+8b=83
- 对
f
(
x
)
=
a
+
b
x
f(x) = a + bx
f(x)=a+bx 进行积分得到
F
(
x
)
F(x)
F(x)，并利用已知条件
P
(
X
≤
1
/
2
)
=
3
/
8
P(X \leq 1/2) = 3/8
P(X≤1/2)=3/8：
-
方程组求解 a a a 和 b b b：
-
利用归一化条件：
∫ 0 1 ( a + b x ) d x = [ a x + b x 2 2 ] 0 1 = a + b 2 = 1 \int_0^1 (a + bx) \, dx = \left[ ax + \frac{bx^2}{2} \right]_0^1 = a + \frac{b}{2} = 1 ∫01(a+bx)dx=[ax+2bx2]01=a+2b=1 -
利用 P ( X ≤ 1 / 2 ) = 3 / 8 P(X \leq 1/2) = 3/8 P(X≤1/2)=3/8：
a 2 + b 8 = 3 8 \frac{a}{2} + \frac{b}{8} = \frac{3}{8} 2a+8b=83
-
-
解方程组：
-
第一个方程：
a + b 2 = 1 a + \frac{b}{2} = 1 a+2b=1 -
第二个方程：
a 2 + b 8 = 3 8 \frac{a}{2} + \frac{b}{8} = \frac{3}{8} 2a+8b=83 -
消去 b b b 求解 a a a：
a 2 + b 8 = 3 8 ⇒ 4 a + b = 3 \frac{a}{2} + \frac{b}{8} = \frac{3}{8} \quad \Rightarrow \quad 4a + b = 3 2a+8b=83⇒4a+b=3
将 b = 2 − 2 a b = 2 - 2a b=2−2a 代入：
4 a + ( 2 − 2 a ) = 3 ⇒ 4 a + 2 − 2 a = 3 ⇒ 2 a = 1 ⇒ a = 1 2 4a + (2 - 2a) = 3 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2 - 2a = 3 \quad \Rightarrow \quad 2a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2} 4a+(2−2a)=3⇒4a+2−2a=3⇒2a=1⇒a=21 -
再求 b b b：
b = 2 − 2 a = 2 − 2 ⋅ 1 2 = 1 b = 2 - 2a = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 b=2−2a=2−2⋅21=1
-
结果：
a = 1 2 , b = 1 a = \frac{1}{2}, \quad b = 1 a=21,b=1
无偏估计量
定义：如果统计量 θ ^ \hat{\theta} θ^ 的期望值等于参数 θ \theta θ，即 E ( θ ^ ) = θ E(\hat{\theta}) = \theta E(θ^)=θ，则称 θ ^ \hat{\theta} θ^ 为参数 θ \theta θ 的无偏估计量。
意义：无偏估计量的期望值与真实参数值相等，这意味着在重复抽样的长期平均中，估计量不会系统性地偏离真实参数。
例子：对于正态分布 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)，样本均值 X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i Xˉ=n1∑i=1nXi 是 μ \mu μ 的无偏估计量，因为 E ( X ˉ ) = μ E(\bar{X}) = \mu E(Xˉ)=μ。
最有效估计量
定义：在所有无偏估计量中，方差最小的估计量称为最有效估计量或最小方差无偏估计量（MVUE，Minimum Variance Unbiased Estimator）。
意义：最有效估计量在保证无偏的前提下，具有最小的估计误差（方差），因此在估计准确性方面是最优的。
例子：对于正态分布 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu, \sigma^2) X∼N(μ,σ2)，样本均值 X ˉ \bar{X} Xˉ 不仅是 μ \mu μ 的无偏估计量，而且由于它的方差最小（方差为 σ 2 n \frac{\sigma^2}{n} nσ2），所以 X ˉ \bar{X} Xˉ 是 μ \mu μ 的最有效估计量。
详细解释和联系
-
无偏性：一个估计量的无偏性保证了它的期望值等于被估计的参数值，从长期来看，这个估计量不会系统性地高估或低估参数。这是一个估计量的基本要求，但无偏性并不保证估计的效率。
-
方差：方差衡量了估计量的波动性。方差越小，估计量越集中在真实值附近，即估计越精确。
-
最小方差无偏估计量（MVUE）：在所有无偏估计量中，最小方差无偏估计量是最优的，因为它在保证无偏性的前提下，具有最小的波动性。
实际应用中的步骤
- 验证无偏性：首先检查一个估计量是否是无偏的，即验证 E ( θ ^ ) = θ E(\hat{\theta}) = \theta E(θ^)=θ。
- 比较方差：在所有无偏估计量中，计算它们的方差，找出方差最小的那个。
- 确定最有效估计量：最小方差的无偏估计量即为最有效估计量。
题目：
若 X X X 服从自由度为 n n n 的 t t t 分布，则 X 2 X^2 X2 服从自由度为 什么的的 F F F 分布。
涉及知识点：
- t t t 分布：用于小样本量或总体方差未知情况下的均值比较。
- F F F 分布：用于比较两个样本方差是否显著不同，尤其在方差分析（ANOVA）中广泛应用。
题目解答：
t t t 分布与 F F F 分布的关系
如果随机变量 X ∼ t ( n ) X \sim t(n) X∼t(n)，则 X 2 X^2 X2 服从自由度为 ( 1 , n ) (1, n) (1,n) 的 F F F 分布。详细推导如下：
-
t t t 分布定义：
如果 X ∼ t ( n ) X \sim t(n) X∼t(n)，则 X X X 可表示为：
X = Z W n X = \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}} X=nW Z其中：
- Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z \sim N(0,1) Z∼N(0,1) 是标准正态分布。
- W ∼ χ 2 ( n ) W \sim \chi^2(n) W∼χ2(n) 是自由度为 n n n 的卡方分布。
-
平方 t t t 分布变量：
将 X X X 平方得到 X 2 X^2 X2：
X 2 = ( Z W n ) 2 = Z 2 W n = Z 2 W / n X^2 = \left( \frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{n}}} \right)^2 = \frac{Z^2}{\frac{W}{n}} = \frac{Z^2}{W/n} X2= nW Z 2=nWZ2=W/nZ2 -
转化为 F F F 分布：
- Z 2 ∼ χ 2 ( 1 ) Z^2 \sim \chi^2(1) Z2∼χ2(1)，因为 Z Z Z 是标准正态分布(一个标准正态分布)。
- W ∼ χ 2 ( n ) W \sim \chi^2(n) W∼χ2(n)。
- 因此， X 2 X^2 X2 服从自由度为 ( 1 , n ) (1, n) (1,n) 的 F F F 分布。
综上所述，如果 X ∼ t ( n ) X \sim t(n) X∼t(n)，则 X 2 X^2 X2 服从自由度为 ( 1 , n ) (1, n) (1,n) 的 F F F 分布。
相关知识点补充
-
t t t 分布：适用于小样本量或总体方差未知情况下的均值比较，其概率密度函数为：
f ( t ) = Γ ( n + 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 + t 2 n ) − n + 1 2 f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \, \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} f(t)=nπ Γ(2n)Γ(2n+1)(1+nt2)−2n+1
其中 Γ \Gamma Γ 是伽玛函数， n n n 是自由度。 -
F F F 分布：用于比较两个样本方差是否显著不同，其概率密度函数为：
f ( F ) = ( n 1 n 2 ) n 1 / 2 ( F n 1 n 2 ) n 1 2 − 1 B ( n 1 2 , n 2 2 ) ( 1 + n 1 n 2 F ) n 1 + n 2 2 f(F) = \frac{\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{n_1/2} \left(\frac{F}{\frac{n_1}{n_2}}\right)^{\frac{n_1}{2} - 1}}{B\left(\frac{n_1}{2}, \frac{n_2}{2}\right) \left(1 + \frac{n_1}{n_2} F\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}}} f(F)=B(2n1,2n2)(1+n2n1F)2n1+n2(n2n1)n1/2(n2n1F)2n1−1
其中 B B B 是贝塔函数，自由度分别为 n 1 n_1 n1 和 n 2 n_2 n2。