【atcoder】习题——位元枚举

题意：求i&M的popcount的和，i属于0……N

主要思路还是变加为乘。

举个例子N=22，即10110

假设M的第3位是1，分析N中：

00110

00111

00100

00101

发现其实等价于

0010

0011

0000

0001

也就是左边第4位和第5位不变，右边第1位和第2位不变拼接起来，相当于0000~0011

01110

01111

01100

01101

等价于：

0110

0111

0100

0101

相当于0100~0111

10110

10111

10100

10101

相当于1000~1010

最后把3个部分合一起就是0000~1010

如果M的第3位是0，比如说10010（二进制），其实等价于求01110这个二进制数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
ll ans,n,m;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<60;i++){
		if((m>>i)&1){
			ll mask=(1ll<<i)-1;
			if((n>>i)&1){
				ll tmp=(n>>(i+1)<<i)|(n&mask);//左边拼接上右边
				ans=(ans+tmp+1)%mod;
			}	
			else {
				ll t=(n-(1ll<<i))|mask;//先把n更新一下，注意要把右边变成最大值
				ll tmp=(t>>(i+1)<<i)|(t&mask);//同样处理
				ans=(ans+tmp+1)%mod;
			}
		}
	}
	cout<<ans;
}

题意：共n把钥匙m次测试，至少k把钥匙才打开门，问满足所有测试条件的真钥匙的组合种类

位元枚举：用位元表示所有真钥匙的组合，然后保存每个测试的钥匙状态，满足所有测试就是答案组合

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int keys[20];
char r[105];
int f(int x){
	int ct=0;
	while(x){
		if(x&1)ct++;x>>=1;
	}
	return ct;
}
int main(){
	int n,m,k;cin>>n>>m>>k;//n把钥匙，m个测试，至少k把钥匙才能打开门
	for(int i=0;i<m;i++){
		int c;cin>>c;
		while(c--){
			int a;cin>>a;
			keys[i]|=1<<(a-1);//把i测试用的钥匙存起来
		}
		cin>>r[i];//最终门的状态
	}
	int ans=0;
	for(int s=0;s<(1<<n);s++){//枚举所有正确钥匙的组合情况
		bool er=0;
		for(int i=0;i<m;i++){//看看是否满足所有的测试用例
			if((f(keys[i]&s)>=k&&r[i]!='o')||(f(keys[i]&s)<k&&r[i]=='o')){
				er=1;break;
			}
		}
		ans+=!er;
	}cout<<ans;
}

不难发现：10101010101010101010 = 10*（1010101010101010101）

就是10*(10^0+10^2+10^4+10^6+10^8+10^10+10^12+10^14+10^16+10^18) 进行等比求和：

10*(10^20-1)/(10^2-1)

那么输入一个N，我们计算出其长度len

就是：N*(10^0+10^len+10^len*2+10^len*3+……+10^len*n-1)

就是N*(10^len*n)/(10^len-1)

然后知识点：a/b%mod=a*b^(mod-2)%mod

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=998244353;
ll f(ll x,ll y){
	x%=MOD;
	ll res=1;
	while(y){
		if(y&1)res=res*x%MOD;
		y>>=1;x=x*x%MOD;
	}
	return res;
}
ll inv(ll x){
	return f(x,MOD-2);
}
int main(){
	ll n;cin>>n;
	int len=(to_string(n)).size();
	cout<<n%MOD * (f(f(10,n),len)-1)%MOD * inv(f(10,len)-1)%MOD<<'\n';
}

题意：一共有n个店，每个店有许多口味，问能尝到所有口味至少要去多少家店

位元枚举：用位元来表示所有店的组合，并保存每个店提供的口味状态，如果某个组合中可提供所有的口味就行

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[10];
int main(){
	int n,m;
	cin>>n>>m;//n个店，m种口味
	for(int i=0;i<n;i++){
		string s;cin>>s;
		for(char c:s){
			d[i]=(d[i]<<1)+(c=='o');//保存第i个店卖的口味状态
		}
	}
	int an=100;
	for(int i=0;i<(1<<n);i++){//枚举所有的店的组合
		int now=0,cnt=0;
		for(int j=0;j<n;j++){
			if((i>>j)&1)now|=d[j],cnt++;//把组合中的每个店卖的东西都合并起来
		}
		if(now==(1<<m)-1)an=min(an,cnt);//如果当好覆盖了所有口味，那就更新一次答案
	}
	cout<<an;
}