计算机的错误计算（二十七）

摘要  介绍错数：任给一个单变元函数，当自变量被截断时，函数值中含有的错误的有效数字个数，并给出其计算方法。

       首先，从字面上看，错数表示错误的有效数字个数。

       下面从一个略显粗糙的化简过程，推出错数的计算方法。

       众所周知，导数是函数的变化量与自变量的变化量的比值的极限：

 .

如果  比较小，那么函数值的变化量约等于导数与自变量的变化量的乘积：

       不妨用科学记数法表示它们（这里稍作修改：小数点前为0，  、  及  均为  的数字，并且   、  及  均不为0）：

       假设自变量与函数值均保留 位有效数字，并且自变量与函数值中分别有  位与  位错误数字。这时，有

其中 , .  上式意味着  有  位整数。

同理可得， 有  位整数。另外， 有  位整数。因此，由  可得

即

上式表示，函数值的错误数字个数比自变量的错误数字个数多  位。

       若自变量被截断了，只有 位正确数字。这时，. 那么，函数值中含有 

位错误数字。

       以上就是错数的计算方法。

       还记得计算机的错误计算（七）中内容吗：“对于exp(x) 函数来说，若  有表示误差，并有 k 位整数，则计算机有时会产生约 k 位错误数字”（注：这里的 k 不是 上面的 ）。

       设   则 有 3位整数，即   而对于函数 exp(x) 来说，其导数也为 exp(x)。因此在很小的邻域内，  所以，错数为  

       这就是为什么 exp(x) 的错数为 x 的整数位数的原因。这也就是软件关于 exp(x) 的输出总是有 几位数字出错的原因。

       最后，利用错数的计算公式，您不妨分析一下其它函数？