KAN官方代码库:https://github.com/KindXiaoming/pykan
官方tutorials:https://kindxiaoming.github.io/pykan/
目录
- Abstract
- Kolmogorov–Arnold Networks (KAN)
- KANs are accurate
- KANs are interpretable
- Discussion
- Appendix
Abstract
受Kolmogorov-Arnold表示定理的启发,作者提出Kolmogorov-Arnold Networks(KAN)作为多层感知器(MLPs)的有前途的替代方案。MLP 在节点(“神经元”)上具有固定的激活函数,但 KAN 在边缘(“权重”)上具有可学习的激活函数。 KAN 没有线性权重:每个权重参数都被参数化为一个样条线的单变量函数。作者发现,这个看似简单的变化使得 KAN 在准确性和可解释性方面优于 MLP。就准确性而言,在数据拟合和偏微分方程求解方面,小得多的 KAN 可以实现与大得多的 MLP 相当或更好的精度。 从理论和实证上讲,KAN 比 MLP 具有更快的神经缩放定律。在可解释性方面,KAN 可以直观地可视化,并且可以轻松地实现与用户交互。
Kolmogorov–Arnold Networks (KAN)
Kolmogorov-Arnold Representation theorem
如果 f f f是有界域上的多元连续函数,则 f f f可以写为单变量和二元加法运算的连续函数的有限组合,对于 f : [ 0 , 1 ] n → R f:[0,1]^n\rightarrow R f:[0,1]n→R,有:
其中, ϕ p , q : [ 0 , 1 ] → R \phi_{p,q}:[0,1]\rightarrow R ϕp,q:[0,1]→R, Φ q : R → R \Phi_q:R\rightarrow R Φq:R→R
KAN architecture
假设有一个监督学习任务由输入输出对 { x i , y i } \{x_i,y_i\} {xi,yi}组成,我们希望找到函数 f f f,使得 y i = f ( x i ) y_i=f(x_i) yi=f(xi)。方程2.1意味着找到合适的单变量函数 ϕ p , q : [ 0 , 1 ] → R \phi_{p,q}:[0,1]\rightarrow R ϕp,q:[0,1]→R, Φ q : R → R \Phi_q:R\rightarrow R Φq:R→R即可。但网络只有两层且宽度确定,过于简单,无法拟合现实中的复杂函数。
推广KAN:将方程2.1看为两个KAN层,令 Φ = { ϕ p , q } , p = 1 , 2 , . . . , n i n , q = 1 , 2 , . . . , n o u t \Phi=\{\phi_{p,q}\},p=1,2,...,n_{in},q=1,2,...,n_{out} Φ={ϕp,q},p=1,2,...,nin,q=1,2,...,nout
定义: n l n_l nl是第 l l l层的节点个数,第 l l l层的第 i i i个神经元记为 ( l , i ) (l,i) (l,i),那么,第 ( l + 1 , j ) (l+1,j) (l+1,j)神经元的激活值由下面的方程给出:
用矩阵形式可以表示为:
其中 Φ l \Phi_l Φl是第 l l l个KAN层的函数矩阵。一个一般的KAN网络由L层组成:
定义 f ( x ) = K A N ( x ) f(x)=KAN(x) f(x)=KAN(x):
Φ l \Phi_l Φl是可微的,因此可以使用反向传播来训练 KAN。
类似地,MLP 可以写成仿射变换 W 和非线性的交错σ以供比较:
Implementation details
-
残差激活函数: 包含一个基函数 b ( x ) b(x) b(x)(类似于残差连接),使得激活函数 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)是基函数 b ( x ) b(x) b(x) 和样条函数之和:
spline(x)被参数化为B-splines的线性组合。w因子可以更好地控制激活函数的整体幅度。 -
初始化: 对于B-spline系数 c i ∼ N ( 0 , σ 2 ) , σ = 0.1 c_i\sim N(0,\sigma^2), \sigma=0.1 ci∼N(0,σ2),σ=0.1。w 根据 Xavier 初始化。
-
更新样条网格: 根据每个网格的输入激活动态更新每个网格。
KAN’s Approximation Abilities
Approximation theory, KAT:令
X
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
X=(x_1,x_2,...,x_n)
X=(x1,x2,...,xn),假设
f
f
f满足:
存在一个取决于
f
f
f 及其表示的常数 C,这样就网格大小 G 而言具有以下近似界限:
具有有限网格大小的 KAN 可以渐进地以与维度无关的残差率很好地逼近函数
f
f
f ,从而克服维度灾难。
For Interpretability: Simplifying KANs and Making them interactive
-
Sparsification: 对于KAN网络,需要同时使用L1和熵正则化进行稀疏性学习。
将激活函数 φ 的 L1 范数定义为其 Np 输入的平均幅度:
将 Φ 的 L1 范数定义为所有激活函数的 L1 范数之和:
此外,我们将 Φ 的熵定义为:
总训练目标损失是预测损失加上 所有 KAN 层的 L1 和熵正则化:
其中 μ1、μ2 是相对量值,通常设置为 μ1 = μ2 = 1,而 λ 控制整体正则化量值。
-
Pruning: 经过稀疏化惩罚训练后,还想将网络修剪成更小的子网。在节点级别(而不是边缘级别)对 KAN 进行稀疏化。对于每个节点(例如第 l l l 层中的第 i i i 个神经元),我们将其传入和传出分数定义为
如果传入和传出分数默认都大于阈值超参数 θ = 1 0 − 2 \theta=10^{-2} θ=10−2,则认为该节点很重要。所有不重要的神经元都被修剪。
-
Symbolification: 如果怀疑某些激活函数实际上是符号函数(例如 cos 或 log),我们提供一个接口将它们设置为指定的符号形式, f i x _ s y m b o l i c ( l , i , j , f ) fix\_symbolic(l,i,j,f) fix_symbolic(l,i,j,f) 可以设置 ( l , i , j ) (l , i, j) (l,i,j) 激活为 f f f 。
为什么不使用符号回归(SR)?符号回归方法通常很脆弱且难以调试。它们最终要么返回成功,要么返回失败,而不输出可解释的中间结果。相比之下,KAN 在函数空间中进行连续搜索(使用梯度下降),因此它们的结果更连续,更稳健。更一般地说,当目标函数不是符号函数时,符号回归将会失败,但 KAN 仍然可以提供有意义的东西。例如,除非提前提供,否则 SR 不可能学习特殊函数(例如贝塞尔函数),但 KAN 无论如何都可以使用样条函数对其进行数值近似。
KANs are accurate
Toy datasets
通过每 200 步增加网格点来训练这些 KAN,总共覆盖 G = {3, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000}。训练具有不同深度和宽度的 MLP 作为基线。 MLP 和 KAN 均使用 LBFGS 进行了总共 1800 个步骤的训练。将测试集的 RMSE 绘制为图 3.1 中 KAN 和 MLP 参数数量的函数,表明 KAN 比 MLP 具有更好的缩放曲线,特别是对于高维数据。对于最后一个示例,2 层 KAN [4, 9, 1] 的表现比 3 层 KAN(形状 [4, 2, 2, 1])差得多,这凸显了更深的 KAN 具有更强的表达能力(也可能是三层的结构更符合这个符号函数)。
Special functions
收集了数学和物理中常见的 15 个特殊函数,我们选择固定宽度为 5 或 100 且扫描深度为 {2,3,4,5,6} 的 MLP。KAN 的宽度设置为 5,深度在 {2,3,4,5,6} 中扫描,使用稀疏化(λ = 10^−2 或 10^−3)和剪枝技术来从固定形状的 KAN 中获得更小的 KAN 剪枝。每个 KAN 初始化为 G = 3,使用 LBFGS 进行训练,每 200 步增加网格点数量以覆盖 G = {3, 5, 10, 20, 50, 100, 200}。对于每个超参数组合,我们运行 3 个随机种子。
KAN 的性能始终优于 MLP,即在参数数量相同的情况下,KAN 可以比 MLP 实现更低的训练/测试损失。
Feynman datasets
Feynman 数据集收集了 Feynman 教科书中的许多物理方程。
自动发现的 KAN 比人工构建的 KAN 小: 自动发现的 KAN 形状(最小和最佳)通常比我们的人类结构小。这意味着 KA 表示可以比我们想象的更有效。与此同时,这可能会使可解释性变得微妙,因为信息被压缩到比我们想象的更小的空间中。KAN 的可解释性可以促进科学发现。
Solving partial differential equations
我们推测 KAN 可能有潜力作为 PDE 模型简化的良好神经网络表示。
Continual Learning
我们证明 KAN 具有局部可塑性,并且可以通过利用样条的局部性来避免灾难性遗忘。 由于样条基是局部的,样本只会影响一些附近的样条系数,而使远处的系数保持不变。相比之下,由于 MLP 通常使用全局激活,例如 ReLU/Tanh/SiLU 等,因此任何局部变化都可能不受控制地传播到远处的区域,从而破坏存储在那里的信息。
使用一个玩具示例来验证这种直觉。一维回归任务由 5 个高斯峰组成。每个峰周围的数据按顺序(而不是一次全部)呈现给 KAN 和 MLP,如图 3.4 顶行所示。每个训练阶段后的 KAN 和 MLP 预测显示在中间和底部行中。正如预期的那样,KAN 仅重构当前阶段存在数据的区域,而使之前的区域保持不变。相比之下,MLP 在看到新的数据样本后会重塑整个区域,从而导致灾难性的遗忘。
KANs are interpretable
Supervised toy datasets
KAN 能够揭示这些公式中存在的组成结构,并学习正确的单变量函数。
Unsupervised toy dataset
Discussion
- 希望将 KAN 应用于机器学习相关的任务,这需要将 KAN 集成到当前的架构中,例如 Transformer——人们可能会提出“kansformers”,用 Transformer 中的 KAN 取代 MLP。
- KAN 作为人工智能+科学的“语言模型”: KAN 由可解释的函数组成,因此当人类用户盯着 KAN 时,就像使用函数语言与其进行交流一样。
- 应该使用 KAN 还是 MLP?
Appendix
KAN Functionalities
Learnable activation networks (LANs)
- KAN 与标准 MLP 相比有两个主要变化:(1)激活函数变得可学习而不是固定的; (2) 激活函数放置在边上而不是节点上。 除了 KAN 之外,我们还提出了另一种类型的可学习激活网络(LAN),它几乎是 MLP,但具有参数化为样条的可学习激活函数。
- 对于图 4.1 中的相同示例,KAN 可以完全解释,但由于权重矩阵的存在,LAN 的可解释性似乎要差得多。 首先,权重矩阵比可学习的激活函数更不容易解释。其次,权重矩阵带来了太多的自由度,使得可学习的激活函数过于不受约束。 我们对 LAN 的初步结果似乎意味着摆脱线性权重矩阵(通过在边缘上具有可学习的激活,如 KAN)对于可解释性是必要的。
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