滤波器设计

1. 数字滤波器类型

1.1 FIR滤波器（有限冲激响应滤波器）
FIR滤波器的输出只依赖于当前和过去有限个输入样本，其冲激响应在有限时间内结束。FIR滤波器的优点包括：

线性相位特性
固定长度的滤波器系数
总是稳定的
FIR滤波器的基本形式为：

其中，
h[k] 是滤波器系数，
x[n] 是输入信号，
y[n] 是输出信号。
1.2 IIR滤波器（无限冲激响应滤波器）
IIR滤波器的输出依赖于当前和过去的输入样本以及过去的输出样本，其冲激响应在无限时间内延续。IIR滤波器的优点包括：
滤波器阶数较低，计算复杂度低
可以实现特定频率响应
IIR滤波器的基本形式为：

其中，
a[k] 和 b[k] 是滤波器系数，
x[n] 是输入信号，
y[n] 是输出信号。

2. 滤波器设计方法

2.1 FIR滤波器设计方法
窗函数法： 通过设计理想滤波器的频率响应，然后应用窗函数截断冲激响应。
频率采样法： 直接在频域采样，然后使用逆DFT得到时域滤波器系数。
最小平方误差法： 通过优化使得滤波器的频率响应逼近理想频率响应。
2.2 IIR滤波器设计方法
双线性变换法： 将模拟滤波器转换为数字滤波器。
脉冲响应不变法： 将模拟滤波器的冲激响应离散化，得到数字滤波器。
匹配z变换法： 通过匹配模拟滤波器和数字滤波器的极点和零点，设计数字滤波器。
3. FIR滤波器设计示例
以下是使用Python和SciPy库设计FIR低通滤波器的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import firwin, freqz

# 采样率和滤波器参数
fs = 1000  # 采样率
cutoff = 200  # 截止频率
numtaps = 101  # 滤波器阶数

# 设计FIR低通滤波器
h = firwin(numtaps, cutoff, fs=fs)

# 计算频率响应
w, h_freq = freqz(h, worN=8000)

# 绘制滤波器冲激响应
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(h)
plt.title('FIR滤波器冲激响应')
plt.xlabel('样本点')
plt.ylabel('幅度')

# 绘制频率响应
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(0.5 * fs * w / np.pi, np.abs(h_freq), 'b')
plt.title('FIR滤波器频率响应')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid()

plt.tight_layout()
plt.show()

4. IIR滤波器设计示例
以下是使用Python和SciPy库设计IIR低通滤波器的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import butter, lfilter, freqz

# 采样率和滤波器参数
fs = 1000  # 采样率
cutoff = 200  # 截止频率
order = 4  # 滤波器阶数

# 设计IIR低通滤波器
b, a = butter(order, cutoff / (0.5 * fs), btype='low')

# 计算频率响应
w, h = freqz(b, a, worN=8000)

# 绘制频率响应
plt.figure(figsize=(12, 6))

plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(0.5 * fs * w / np.pi, np.abs(h), 'b')
plt.title('IIR滤波器频率响应')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.grid()

# 绘制零极点图
plt.subplot(2, 1, 2)
z, p, k = tf2zpk(b, a)
plt.scatter(np.real(z), np.imag(z), marker='o', label='Zeros')
plt.scatter(np.real(p), np.imag(p), marker='x', label='Poles')
plt.title('IIR滤波器零极点图')
plt.xlabel('实部')
plt.ylabel('虚部')
plt.grid()
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()