极限的严格定义在数学中是非常重要的，它为微积分及其后续理论提供了坚实的基础。下面分别给出数列极限和函数极限的严格定义。
数列极限的严格定义
设\((a_n)_{n=1}^{\infty}\)是一个实数数列，\(a\)是实数。我们说数列\((a_n)\)的极限是\(a\)，记作
\[\lim_{n \to \infty} a_n = a, \]如果对于任意的正实数\(\varepsilon > 0\)，都存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，有
\[|a_n - a| < \varepsilon. \]这意味着数列的项可以无限地接近\(a\)，而且可以任意地接近。
函数极限的严格定义
考虑函数\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\)，其中\(D \subseteq \mathbb{R}\)，并且\(c\)是\(D\)的聚点或\(\pm\infty\)。我们说函数\(f(x)\)当\(x\)趋近于\(c\)时的极限是\(L\)，记作
\[\lim_{{x \to c}} f(x) = L, \]如果对于任意的\(\varepsilon > 0\)，都存在\(\delta > 0\)，使得当\(0 < |x - c| < \delta\)且\(x \in D\)时（如果\(c\)是实数），或者当\(x > c+\delta\)或\(x < c-\delta\)（如果\(c=\pm\infty\)）时，有
\[|f(x) - L| < \varepsilon. \]这个定义表明，无论我们多么接近\(c\)（在\(c\)的邻域内除了\(c\)本身），函数值\(f(x)\)都会无限接近\(L\)。
这两个定义的核心思想是，无论我们怎样缩小误差范围（\(\varepsilon\)），只要我们愿意考察数列或函数值在足够远的地方或足够接近特定点的情况，我们总能找到满足条件的项或点，使得误差落在这个范围内。这是极限概念中“无限靠近而永远不能到达”的直观表述的数学化表达。
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