强化学习 --K臂老虎机(2)

3.1 前提

在前一节我们提出了一个强化学习经典问题“K臂老虎机”，并将这个问题数学形式化，并将求解“最大奖励概率分布”变换为求解“最小化累计懊悔”问题。之后又给出了K臂老虎机的环境生成问题，以及解决K臂老虎机算法的框架。在这节中，我们将会实现几个策略来解决K臂老虎机问题。

3.2 试探与开发(探索与利用)的平衡

还记得我们上一节提出的股票的例子吗？你购买5只股票，每月固定都能获得1W，但是这个月你想换一下其它股票。你可能会赚的更多，也可能会亏一些。那么我们就可以定义：你选择原有的几只股票获得固定收益的这一方式被称为开发或利用。而你试着去买其它股票的行为则被称为试探或探索。

在第2节中，针对K臂老虎机，我们没有提出任何策略，所以在这一节，我们将会学习如何设计一个策略。最简单的策略，就是随机选择一个拉杆，但是这获得最大期望奖励的可能性太小了，所以并不合适。在多臂老虎机问题中，一个经典的问题就是探索和利用的平衡问题。在这个问题里面，探索指的是尝试拉动更多的拉杆，不一定每个拉杆都会获得最大的奖励，但是这种方式可以探索出所有拉杆的奖励情况。利用是指拉动已知期望奖励最大的那根拉杆，但是因为已知信息仅仅来自有限次的交互，所以当前的最优拉杆不一定是全局最优的。例如，对于一个 10 臂老虎机，我们只拉动过其中 3 根拉杆，接下来就一直拉动这 3 根拉杆中期望奖励最大的那根拉杆，但很有可能期望奖励最大的拉杆在剩下的 7 根当中，即使我们对 10 根拉杆各自都尝试了 20 次，发现 5 号拉杆的经验期望奖励是最高的，但仍然存在着微小的概率—另一根 6 号拉杆的真实期望奖励是比 5 号拉杆更高的。(为什么我们都尝试了20次，还会出现存在6号拉杆的真实期望奖励是比5号拉杆更高的情况呢，这是因为呢，我们尝试的次数可能不够多，所以其真实奖励期望是高于预估奖励期望的)

于是在多臂老虎机问题中，设计策略时就需要平衡探索和利用的次数，使得累积奖励最大化。一个比较常用的思路是在开始时做比较多的探索，在对每根拉杆都有比较准确的估计后，再进行利用。目前已有一些比较经典的算法来解决这个问题，例如-贪婪算法、上置信界算法和汤普森采样算法等，我们接下来将介绍-贪婪算法。

3.3 -贪婪算法

完全贪婪算法:在每一时刻采取期望奖励估值最大的动作(拉动拉杆)，这就完全没有探索，保守的一批。举个言简意赅的例子:闭眼看世界，闭门造车。

所以我们对完全贪婪算法进行了改进，其中经典的一种方法是贪婪算法。每次以概率选择以往经验中期望奖励估值最大的那根拉杆，以概率随机选择一个拉杆探索。这个公式如下:

随着时间进行，我们对各个动作的奖励估计的越来越准确，此时就不需要进行很大的探索，而在初期，因为对每个拉杆的奖励期望并不清楚，所以需要进行较多探索。所以我们可以设置的值随着时间进行而逐渐减小。但并不会缩减到0.

PS:发现第二章代码BernoulliBandit类中存在一个错误,修改如下:

class BernoulliBandit:
    """ 伯努利多臂老虎机,输入K表示拉杆个数 """
    def __init__(self, K):
        self.probs = np.random.uniform(size=K)  # 随机生成K个0～1的数,作为拉动每根拉杆的获奖
        # 概率
        self.best_idx = np.argmax(self.probs)  # 获奖概率最大的拉杆
        self.best_prob = self.probs[self.best_idx]  # 最大的获奖概率
        self.K = K

接下来编写一个探索算法，用其解决上一章的10臂老虎机问题，之前的代码在K臂赌博机(1)-CSDN博客。我们在这里设置

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@File    : epsilon-Tansuo.py
@Author  : Administrator
@Time    : 2024-07-06 15:29
@IDE     : PyCharm
@Version :
@comment : ···
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from Solver import Solver
from BernoulliBandit import BernoulliBandit

class EpsilonGreedy(Solver):
    """ epsilon贪婪算法,继承Solver类 """
    def __init__(self, bandit, epsilon=0.01, init_prob=1.0):
        super(EpsilonGreedy, self).__init__(bandit)
        self.epsilon = epsilon
        # 初始化拉动所有拉杆的期望奖励估值
        self.estimates = np.array([init_prob] * self.bandit.K)

    def run_one_step(self):
        if np.random.random() < self.epsilon:
            k = np.random.randint(0, self.bandit.K)  # 随机选择一根拉杆
        else:
            k = np.argmax(self.estimates)  # 选择期望奖励估值最大的拉杆
        r = self.bandit.step(k)  # 得到本次动作的奖励
        self.counts[k] += 1
        self.estimates[k] += 1. / self.counts[k] * (r - self.estimates[k])
        self.regret += self.bandit.best_prob - r
        self.regrets.append(self.regret)
        return k

    def run(self, num_steps):
        for _ in range(num_steps):
            self.run_one_step()

def plot_results(solvers, solver_names):
    """生成累积懊悔随时间变化的图像。输入solvers是一个列表,列表中的每个元素是一种特定的策略。
    而solver_names也是一个列表,存储每个策略的名称"""
    for idx, solver in enumerate(solvers):
        time_list = range(len(solver.regrets))
        plt.plot(time_list, solver.regrets, label=solver_names[idx])
    plt.xlabel('Time steps')
    plt.ylabel('Cumulative regrets')
    plt.title('%d-armed bandit' % solvers[0].bandit.K)
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    np.random.seed(1)
    K = 10
    bandit_10_arm = BernoulliBandit(K)
    epsilon_greedy_solver = EpsilonGreedy(bandit_10_arm, epsilon=0.1)  # 增加 epsilon 值
    epsilon_greedy_solver.run(5000)
    print('epsilon-贪婪算法的累积懊悔为：', epsilon_greedy_solver.regret)
    plot_results([epsilon_greedy_solver], ["EpsilonGreedy"])

运行结果为:

epsilon-贪婪算法的累积懊悔为： 203.62246721078048

通过上面的实验可以发现，在经历了开始的一小段时间后，-贪婪算法的累积懊悔几乎是线性增长的。这是  时的结果，因为一旦做出了随机拉杆的探索，那么产生的懊悔值是固定的。其他不同的 取值又会带来怎样的变化呢？我们继续使用该 10 臂老虎机，我们尝试不同的参数，查看相应的实验结果

代码:

np.random.seed(0)
    K = 10
    bandit_10_arm = BernoulliBandit(K)
    epsilons = [1e-4, 0.01, 0.1, 0.25, 0.5]
    epsilon_greedy_solver_list = [
        EpsilonGreedy(bandit_10_arm, epsilon=e) for e in epsilons
    ]
    epsilon_greedy_solver_names = ["epsilon={}".format(e) for e in epsilons]
    for solver in epsilon_greedy_solver_list:
        solver.run(5000)
    plot_results(epsilon_greedy_solver_list, epsilon_greedy_solver_names)

通过实验发现，无论取值为多少，累计懊悔都是线性增长的，随着的增大，累计懊悔增长的速率也会增大。接下来可以尝试一下值随时间衰减的-贪婪算法，公式为

代码如下:

class DecayingEpsilonGreedy(Solver):
    """ epsilon随时间衰减的epsilon贪婪算法,继承Solver类 """
    def __init__(self, bandit, init_prob=1.0):
        super(DecayingEpsilonGreedy, self).__init__(bandit)
        self.estimates = np.array([init_prob] * self.bandit.K)
        self.total_count = 0

    def run_one_step(self):
        self.total_count += 1
        # epsilon随着时间减小
        epsilon = 1 / self.total_count
        if np.random.random() < epsilon:
            k = np.random.randint(0, self.bandit.K)  # 随机选择一根拉杆
        else:
            k = np.argmax(self.estimates)  # 选择期望奖励估值最大的拉杆

        r = self.bandit.step(k)  # 得到本次动作的奖励
        self.estimates[k] += 1. / (self.counts[k] + 1) * (r - self.estimates[k])
        return k

 np.random.seed(1)
    K = 10
    bandit_10_arm = BernoulliBandit(K)
    decaying_epsilon_greedy_solver = DecayingEpsilonGreedy(bandit_10_arm)
    decaying_epsilon_greedy_solver.run(5000)
    print('随时间衰减的epsilon-贪婪算法的累积懊悔为：', decaying_epsilon_greedy_solver.regret)
    plot_results([decaying_epsilon_greedy_solver], ["DecayingEpsilonGreedy"])

从实验结果图中可以发现，随时间做反比例衰减的 -贪婪算法能够使累积懊悔与时间步的关系变成次线性（sublinear）的，这明显优于固定 值的 -贪婪算法