dp背包3步曲
1.确定dp[i] [v]的含义(一维的话是dp[v]) ：在 0…i 的物品中，体积为 v 的背包中，能够拿到的最大价值为 dp[i] [v]。
2.求关系式
不拿物品：（物品数量减少）
一维：dp[v]
二维：dp[i] [v] = dp[i-1] [v]
拿：（物品数量减少，背包体积减物品体积）
一维：dp[v-weight[i]]
二维：dp[i] [v] = dp[i-1] [v-weight[i]]
一维背包：
//遍历物品的数量N
for (int i = 1; i <= n; i++) {
//遍历背包的容量V，但是从大到小进行遍历，如果背包容量大于物品体积就拿
for (int j = capacity; j >= weights[i]; j--) {
//不拿（背包体积不变）和拿（背包体积减少再加上物品价值），进行比大小，取大值。
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]);
}
}
二维背包：
//遍历物品的数量N
for(int i = 1;i<= n ; i++){
//遍历背包的容量V
for(int j = 0; j <= c ; j++ ){
//如果背包体积小于物品的体积，放不下就不拿了
if(j<v[i]){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}else{
//不拿（物品数量-1）和拿（物品数量-1,并且背包体积减少再加上物品价值），进行比大小，取大值。
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
}
二维背包
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int numCases = sc.nextInt(); // Number of test cases
for (int caseNum = 0; caseNum < numCases; caseNum++) {
int numItems = sc.nextInt(); // Number of items
int capacity = sc.nextInt(); // Maximum capacity of the knapsack
int limit = sc.nextInt(); // Maximum weight limit
int[] values = new int[numItems + 1];
int[] weights = new int[numItems + 1];
int[] profits = new int[numItems + 1];
for (int i = 1; i <= numItems; i++) {
values[i] = sc.nextInt(); // Value of the item
weights[i] = sc.nextInt(); // Weight of the item
profits[i] = sc.nextInt(); // Profit of the item
}
int[][] dp = new int[capacity + 1][limit + 1]; // DP table
for (int i = 1; i <= numItems; i++) {
for (int j = capacity; j >= values[i]; j--) {
for (int k = limit; k >= weights[i]; k--) {
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - values[i]][k - weights[i]] + profits[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[capacity][limit]);
}
sc.close();
}
}
如果每个物品只能用一次，反向更新是必要的；如果每个物品可以用多次，则可以正向更新。
01背包
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int numCases = sc.nextInt(); // Number of test cases
for (int caseNum = 0; caseNum < numCases; caseNum++) {
int numItems = sc.nextInt(); // Number of items
int capacity = sc.nextInt(); // Maximum capacity of the knapsack
int limit = sc.nextInt(); // Maximum weight limit
int[] values = new int[numItems + 1];
int[] weights = new int[numItems + 1];
int[] profits = new int[numItems + 1];
for (int i = 1; i <= numItems; i++) {
values[i] = sc.nextInt(); // Value of the item
weights[i] = sc.nextInt(); // Weight of the item
profits[i] = sc.nextInt(); // Profit of the item
}
int[][] dp = new int[capacity + 1][limit + 1]; // DP table
for (int i = 1; i <= numItems; i++) {
for (int j = capacity; j >= values[i]; j--) {
for (int k = limit; k >= weights[i]; k--) {
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k], dp[j - values[i]][k - weights[i]] + profits[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[capacity][limit]);
}
sc.close();
}
}
多重背包
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int nt = sc.nextInt();
for (int t = 0; t < nt; t++) {
int n = sc.nextInt(); // 物品种类
int c = sc.nextInt(); // 背包容量
int[] w = new int[n + 1];
int[] v = new int[n + 1];
int[] m = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 索引从1开始
w[i] = sc.nextInt(); // 物品重量
v[i] = sc.nextInt(); // 物品价值
m[i] = sc.nextInt(); // 物品个数
}
int[] dp = new int[c + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历物品
if (m[i] * w[i] >= c) { // 如果物品数量无限多（足够多），相当于完全背包
for (int j = w[i]; j <= c; j++) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
} else { // 如果物品数量有限，先用二进制优化，再当多重背包做，减少循环次数
int num = m[i]; //num表示物品的剩余数量
for (int k = 1; num > 0; k <<= 1) { //k表示当前二进制位的值，当前物品数量>0就说明可以进行二进制优化
//取小的，确保每次取的物品数量不超过实际剩余数量，在k变大时，可能会超过num，这时就需要取实际剩余的num而不是k。
int cnt = Math.min(k, num); //cnt表示取出的物品数量
num -= cnt; //减去已从背包分出去的物品
for (int j = c; j >= cnt * w[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - cnt * w[i]] + cnt * v[i]);
}
}
}
}
System.out.println(dp[c]); // 输出结果
}
sc.close();
}
}
最长公共子序列：
import java.util.Scanner;
public class Main {
static char[] x;
static char[] y;
static int[][] dp; // 字符串 X 和字符串 Y 的最长公共子序列的长度。
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int t = sc.nextInt();
sc.nextLine(); // 吸收换行符
for (int i = 1; i <= t; i++) {
x = sc.nextLine().toCharArray();
y = sc.nextLine().toCharArray();
// 初始化dp数组，也就是x，y数组的长度
int xl = x.length;
int yl = y.length;
dp = new int[xl + 1][yl + 1]; // 初始化dp数组大小
// 循环数组从1开始，不用加dp[][]，因为已经初始化了
for (int j = 1; j <= xl; j++) {
for (int k = 1; k <= yl; k++) {
// 如果上一个字符相同，就计算出当前值，更新当前的公共子序列长度
if (x[j - 1] == y[k - 1]) {
dp[j][k] = dp[j - 1][k - 1] + 1;
} else {
// 如果不相同，在之前算出来的答案找最适合的，取公共子序列的（二维方向的）前一位进行对比，取大的作为最长公共子序列。
dp[j][k] = Math.max(dp[j][k - 1], dp[j - 1][k]);
}
}
}
System.out.println(dp[xl][yl]);
}
sc.close(); // 关闭读写流
}
}
最长上升子序列：
核心思路：通过动态规划的方法，用 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长上升子序列的长度，遍历数组，更新每个位置的 dp[i] 值，同时记录整个数组的最长上升子序列长度 maxans。
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int size = scanner.nextInt();
int[] numbers = new int[size];
// 读取输入数组
for (int i = 0; i < size; i++) {
numbers[i] = scanner.nextInt();
}
int result = lengthOfLIS(numbers);
System.out.println(result);
}
public static int lengthOfLIS(int[] nums) {
// dp[i] 表示下标i在 nums[i] 时，也就是0-i的最长上升子序列的长度
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = 1; // 初始化，每个元素自身构成一个长度为 1 的子序列
int maxans = 1; // 记录最长上升子序列的长度
//外层循环从1开始遍历每个元素，计算以该元素结尾的最长上升子序列的长度。
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = 1; // 也就是初始化dp的每一个元素为1，可以写到外面
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 如果 nums[i] 大于 nums[j]，则可以将 nums[i] 加入到以 nums[j] 结尾的子序列中
if (nums[i] > nums[j]) {
//既然要更新当前下标i位置的最长上升子序列的长度dp,那就是拿上一个已经算出来的值+1更新，当然了要进行对比取最大值，如果当前的dp[i]比dp[j]还大，那就还是使用当前的。
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
// 更新最长上升子序列的长度
maxans = Math.max(maxans, dp[i]);
}
return maxans;
}
超市搞活动（01背包）
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int getMax(int a, int b) {
if (a > b) {
return a;
} else {
return b;
}
}
int knapsack(int capacity, int numItems, int profits[], int weights[]) {
vector<int> dp(capacity + 1, 0);
for (int i = 0; i < numItems; i++) {
for (int j = weights[i]; j <= capacity; j++) {
dp[j] = getMax(dp[j], dp[j - weights[i]] + profits[i]);
}
}
return dp[capacity];
}
int main() {
int capacity, numItems;
while (cin >> capacity >> numItems) {
int profits[numItems], weights[numItems];
for (int i = 0; i < numItems; i++) {
cin >> profits[i] >> weights[i];
}
int result = knapsack(capacity, numItems, profits, weights);
cout << result << endl;
}
return 0;
}