理解卷积

卷积的公式为

公式中包含1个f函数，1个g函数，f函数乘g函数再积分，便是卷积操作。

我们可以把f函数当做“生产力”，g函数当做“留存率”。随着时间t的变化，生产的东西越来越多，同时损耗也越来越大，公式里的x代表在某一时刻“积累”下来的存量。

举一个例子（这个例子更适合从事游戏行业的同学，其他例子可参考网上的馒头腐败、胃消化食物等）：

假设一款游戏上线了，随着时间流逝，用户增长会不断改变，而用户留存率也会不断改变。我们用f函数表示用户增长，用g函数表示用户留存率，如下图所示：

现在用卷积便可以求出任意时刻的用户留存数量。

假设我想知道在第15天的用户留存，就是用第0~15天的新增用户，分别乘以第15~0天的用户留存率，再累加。

在第15天的时候：

第0天的新增用户量，乘是第15天的留存率；

第1天的新增用户量，乘是第14天的留存率；

….

第15天的新增用户量，乘是第0天的留存率；

可以看到，顺序刚好是反过来的，如果用线一一连起来，看起来就像是“卷起来”，这就是“卷”的含义，而累加就是“积”，对于离散点来说是相加，对于连续点来说是积分。

由上可以看出卷积的第一层含义：

在某一个时刻，生成和衰败相乘累计形成的结果。

也可以逆向得出第二层含义：

最终的结果，受到之前N个因素相乘累计的影响。

卷积核利用的就是第二层含义。

卷积核的“核”指的是把g函数看成是一个多分量的聚合，分量加起来为1，公式为：

具体到图像处理上的“平滑卷积核”（注意除了平滑外还有其他卷积核，如“过滤卷积核”，也叫“过滤器”），则看起来是这样的：

具体到计算则是该像素点周围的9个格子与g函数的9个格子做相乘相加操作，因为是“卷”积，所以乘的是中心对称的元素，即左下乘以右上，左乘以右，左上乘以右下…

总结：

像素平滑处理所用到的，只是卷积核的一种，叫“平滑卷积核”；卷积核又只是“卷积”思想的其中一种，即过去（周围）因素对现在（中心）的影响。

参考：【白话理解卷积，卷积神经网络和卷积核】 - 知乎 (zhihu.com)