复旦大学2023--2024学年第二学期高等代数II期末考试情况分析

一、期末考试成绩班级前几名的同学

施想(95)、侯煜天(94)、刘升(92)、洪临依(92)、王龙晨(92)、文俊(90)、徐亦闵(89)、邓海斌(89)、褚乐一(89)

二、总评成绩计算方法

作业成绩根据交作业的次数决定。本学期提交作业共13次，10次100分，少1次扣10分。

总评成绩=作业成绩*15%+期中成绩*15%+期末成绩*70%

三、期末卷面成绩及人数

四、最终等第成绩及人数

五、试卷命题分析

本次期末试卷的第一大题为8道选择题，主要考察学生对基本概念的理解程度和对定理结论以及作业中常见结论的熟悉程度；第二大题为8道填空题，它们与第三、四、五大题同为计算题，覆盖了整个高等代数II中所有重要的计算要点，这也是后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、八大题同为证明题，其中第六大题是简单证明题，第七大题是中等证明题，第八大题是压轴证明题。遵循高等代数II的教学目标，试卷的前七大题共计90分，着重考察学生对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能力的养成；最后一道较难的证明题，让拔尖学生尽情发挥，使卷面成绩出现必要的梯度。学生的卷面成绩说明本试卷难易度适中，设计合理，富有层次，具有较好的区分度。

六、学生成绩分析

从期末考试的卷面成绩来看，80分以上的同学占了49.4%；70分以上的同学占了77.1%；整个班级的平均分为74分。最终等第成绩也与期末卷面成绩保持一致，获得A与A-的同学共占了60.2%。应该说数学学院本科2023级同学（包括16名高年级转专业同学）在本次期末考试中取得了优异的成绩，交出了一份满意的答卷。

七、教学效果分析

下面我们依次对最后两道大题进行分析。

@第七大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/18280058）

本题是高代白皮书例9.29的轻微推广，也与2022级高代II每周一题第14题密切相关。即便如此，能得到9分以上的同学也只有12人。一些常见的错误是，第1小问第一变元线性的验证不完整（保持加法或保持数乘只验证了一个）；第1小问正定性的验证没有给出具体的证明（只写由A的正定性就能得到结论）；第2小问求伴随的过程中，随意交换矩阵乘积（矩阵迹的交换性有严格的限制: $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)$）；第3小问想得过于复杂（只要用第二章的经典结论：与任意矩阵乘法可交换的矩阵是纯量阵即可）等。

@第八大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/18279915）

本题的证明过程需要多次用到高代白皮书中的结论（特别是乘法交换性诱导的多项式表示），因此具有相当的难度，能得到5分以上的同学只有4人。值得一提的是，高代白皮书例7.72告诉我们：矩阵方程 $X^2=A$ 对任意的非异复矩阵 $A$ 都有解，证明它用的是“Jordan块作为测试矩阵”这一技巧。很多同学想利用这一技巧来讨论解的有限性，但却忽视了“实现相似的过渡矩阵并不唯一”这一问题。那到底能不能用这一技巧来证明呢？当然可以，但前提是需要额外证明：若 $P^{-1}J_r(\sqrt{\lambda_0})P$ 和 $Q^{-1}J_r(\sqrt{\lambda_0})Q$ 都是矩阵方程 $X^2=J_r(\lambda_0)$ 的解，则过渡矩阵 $P,Q$ 相差一个非零常数, 即 $P=cQ$（证明它需要大量的计算）。由此才能得到，矩阵方程 $X^2=J_r(\lambda_0)$ 只有两个解。

八、对2023级同学的寄语与期待

本学期的高等代数课程继续实施线上线下混合式教学。周4学时的正课，高年级转专业学生进行线上学习；周2学时的习题课，不仅要求所有学生利用周末学习习题课教学视频，而且在周一下午的线下习题课上，要求学生现场做题并上台讲解证明题。在正课和习题课上都实施混合式教学，不仅增进了师生之间的交流与互动，而且激发了学生自主学习的动力，取得了良好的教学效果。

为了混合式教学的顺利开展，习题课老师侯晓博博士后认真准备每一次习题课教学；研究生助教徐赟程和张叶昊认真批改每一次线下作业以及期中试卷等。数学学院2023级同学以及高年级转专业同学能在本次期末考试中取得优异的成绩，除了同学们自身的努力拼搏之外，我相信也离不开教学团队每一位成员的辛勤付出！在此我谨代表全体学生对侯晓博博士后、研究生助教徐赟程和张叶昊表示衷心的感谢！

在本学期高代正课的最后，我送给2023级同学一则寄语：

道阻且长，行则将至；行而不辍，未来可期 —— 节选自[战国]权德舆《荀子·修身》

学习数学和研究数学就像登山一样，充满了困难与艰辛，但只要坚持不懈地爬上去，就一定能到达顶峰，拥有光明的未来！最后，衷心感谢2023级同学一年来的陪伴！期待在2027年6月，与大家一起共享本科毕业的美好时光！