标签：frac 8m 高考 4t 数对 2024 压轴 序列 长度

2024数学高考压轴题

题面

懒得打，直接放。

解

• (1)

\((1,2),(5,6),(1,6)\)。

• (2)

考虑，\(a_1,a_3,a_4,\dots,a_12,a_14\)，可以通过这样的方式分成 \(3\) 个等差数列：

\[\begin{matrix} a_1,a_4,a_7,a_{10}; \\a_3,a_6,a_9,a_{12}; \\a_5,a_8,a_{11},a_{14}. \end{matrix} \]

使得每一个序列都为等差序列，然后 \(a_{14}\) 后面的数可以相邻 \(4\) 个为一个等差数列。

综上，\(\forall m\ge 3\) 时，原序列为可分序列。

• (3)

设 \(f(m)\) 为长度为 \(4m+2\) 的等差序列可以使得剩下的序列为一一可分序列的数对个数，简称合法数对个数。

显然对于 \(\forall i=4t+1,(t=0,1,2,\dots,m)\)，\((i,i+1)\) 都是合法数对，这样的数对个数为 \(m+1\)。

考虑一个长度为 \(4t+2,(t=1,1,2,\dots,m)\) 的序列：

• 当 \(t\ge 2\) 时，我们先把序列如下叙述方式分割：

\[\begin{matrix} a_1,a_{t+1},a_{2t+1},a_{3t+1},a_{4t+1}; \\a_2,a_{t+2},a_{2t+2},a_{3t+2},a_{4t+2}; \\a_3,a_{t+3},a_{2t+3},a_{3t+3}; \\\vdots \\a_t,a_{2t},a_{3t},a_{4t}. \end{matrix} \]

易得每一个序列都为等差序列。

又 $\because $ 除第一、二个序列长度为 \(5\) 外，其他长度序列均为 \(4\)。

\(\therefore\) 将第一个序列的开头、第二个序列的结尾删除，或将第一个序列的结尾、第二个序列的开头删除，可以使合法数对个数增加 \(2\)。

• 当 \(t=1\) 时，由 \((1)\) 得，合法且数对内数字不相邻数对的个数为 \(1\)。

对于一个长度为 \(4m+2\) 得序列，我们可以删除开头和结尾长度为 \(4\) 的倍数的序列，使得剩下的序列长度为 \(4t+2\)，然后形如于上文方式选择即可。

综上

\[f(m)=m+1+\sum_{t=1}^m t+\sum_{t=2}^m 2(m-t+1)=m+1+m+m(m-1)=m^2+m+1 \]

则

\[P_m=\frac{f(m)}{C_{4m+2}^{2}}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+8m+1}=\frac{1}{8}+\frac{\frac{7}{8} }{8m^2+8m+1} \]

由 \(m\ge 1\) 易得 \(8m^2+8m+1>0\)，

故 $P_m\ge \frac{1}{8} $。

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