Bezier曲线曲面--拟合技术

Bezier曲线曲面–拟合应用

1.Bezier曲线

1.1.Bezier曲线的定义

给定一组控制点 P_0, P_1, …, P_n，其中 n 是曲线的阶数，Bezier曲线的参数方程可以表示为：
B ( t ) = ∑ i = 0 n P i b i , n ( t ) , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t) = \sum_{i=0}^{n} P_i b_{i,n}(t), \quad t \in [0, 1] B(t)=i=0∑n​Pi​bi,n​(t),t∈[0,1]

其中， b i , n ( t ) 是 B e r n s t e i n 基函数，定义为： 其中，b_{i,n}(t) 是Bernstein基函数，定义为： 其中，bi,n​(t)是Bernstein基函数，定义为：

b i , n ( t ) = C ( n , i ) t i ( 1 − t ) n − i = n ! i ! ( n − i ) ! t i ( 1 − t ) n − i b_{i,n}(t) = C(n, i) t^i (1-t)^{n-i} = \frac{n!}{i!(n-i)!} t^i (1-t)^{n-i} bi,n​(t)=C(n,i)ti(1−t)n−i=i!(n−i)!n!​ti(1−t)n−i

这里，C(n, i) 是组合数，表示从 n 个不同元素中选择 i 个的组合数。

常见的Bezier曲线

• 二次Bezier曲线：由三个控制点定义，参数方程为：

B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t) = (1-t)^2 P_0 + 2t(1-t) P_1 + t^2 P_2, \quad t \in [0, 1] B(t)=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​,t∈[0,1]

• 三次Bezier曲线：由四个控制点定义，是最常用的形式，参数方程为：

B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t) P_2 + t^3 P_3, \quad t \in [0, 1] B(t)=(1−t)3P0​+3t(1−t)2P1​+3t2(1−t)P2​+t3P3​,t∈[0,1]

1.2.Bernstein基函数性质

定义：给定一个参数( t )，其中( 0 <= t <= 1 )，以及一个正整数( n )，Bernstein基函数定义为：
B i , n ( t ) = ( n i ) t i ( 1 − t ) n − i for i = 0 , 1 , 2 , . . . , n B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i} \quad \text{for} \quad i = 0, 1, 2, ..., n Bi,n​(t)=(in​)ti(1−t)n−ifori=0,1,2,...,n
其中:
( n i ) 是组合数，表示从 n 个元素中选择 i 个的组合数。 \binom{n}{i}是组合数，表示从n个元素中选择i个的组合数。 (in​)是组合数，表示从n个元素中选择i个的组合数。
性质：

1.非负性：对于所有的( t )和( i )：
B i , n ( t ) ≥ 0 ; B_{i,n}(t) \geq 0; Bi,n​(t)≥0;
2.归一化：Bernstein基函数的和为1，即：
∑ i = 0 n B i , n ( t ) = 1 \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) = 1 i=0∑n​Bi,n​(t)=1
这一性质使得Bernstein基函数在多项式插值和曲线设计中非常有用，因为它们可以保证在参数空间中的归一化。3.端点性质：Bernstein基函数在端点( t = 0 )和( t = 1 )具有特殊的性质。具体来说：
B 0 , n ( 0 ) = 1 和 B n , n ( 1 ) = 1 ，所有其他 B i , n ( 0 ) 和 B i , n ( 1 ) 均为 0 。 B_{0,n}(0) = 1和B_{n,n}(1) = 1，所有其他B_{i,n}(0)和B_{i,n}(1)均为0。 B0,n​(0)=1和Bn,n​(1)=1，所有其他Bi,n​(0)和Bi,n​(1)均为0。
4.对称性：Bernstein基函数具有对称性，即：
B i , n ( t ) = B n − i , n ( 1 − t ) ; 这意味着它们在参数空间中是对称的。 B_{i,n}(t) = B_{n-i,n}(1-t);这意味着它们在参数空间中是对称的。 Bi,n​(t)=Bn−i,n​(1−t);这意味着它们在参数空间中是对称的。
5.递归性质：Bernstein基函数可以通过德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）递归地求解，这是一种计算Bézier曲线上的点的高效方法。

6.凸包性质：Bernstein多项式定义的曲线或曲面始终位于其控制点的凸包内，这保证了曲线或曲面的整体形状。

7.连续性和可微性：Bernstein基函数及其导数在( t )的整个定义域内都是连续的，这保证了它们定义的曲线或曲面具有良好的光滑性。

1.3.Bezier曲线的性质

1.参数化性质：
Bezier曲线是参数化的，这意味着它的形状由一系列控制点和一个参数(t)决定，其中(t)在0到1之间变化。曲线的形状不依赖于坐标系的选择。

2.凸包性质：
Bezier曲线始终位于其控制点的凸包内。这意味着曲线不会超出由控制点形成的凸多边形之外。这个性质有助于确保曲线的形状在预期的范围内。

3.仿射不变性：
Bezier曲线的形状在仿射变换下不变。这意味着如果对曲线的控制点进行仿射变换（如平移、旋转、缩放），则曲线的形状不变，只需将变换应用于控制点即可。

4.端点插值：
Bezier曲线的起点和终点分别与第一个和最后一个控制点重合。这意味着曲线的起点和终点是固定的，它们分别位于第一个和最后一个控制点上。

5.切线性质：
在Bezier曲线的起点和终点处，曲线的切线分别与第一个和最后一个控制点形成的线段一致。这可以通过计算曲线在这些点的导数来证明。可以进一步证明，起点，终点处r阶导数只与r+1个相邻控制点有关。

6.控制点的权重：
Bezier曲线的形状受到控制点的位置影响，控制点离曲线越远，其对曲线形状的影响越小。这种影响是通过Bernstein多项式来实现的，它是Bezier曲线表达式的一部分。

7.连续性：
如果控制点被适当地选择，Bezier曲线可以具有很高的连续性，如(C^{0)（点连续）、(C}1)（切线连续）和(C^2)（曲率连续）等。这使得Bezier曲线非常适合用于平滑的曲线和曲面设计。

1.4.Bezier曲线的几何作图法

下面详细介绍如何使用几何作图法来绘制二次和三次Bezier曲线。

二次Bezier曲线

二次Bezier曲线由三个控制点 ( P_0 ), ( P_1 ), ( P_2 ) 构成。曲线的定义如下：
B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 t ( 1 − t ) P 1 + t 2 P 2 , 0 ≤ t ≤ 1 B(t) = (1-t)^2 P_0 + 2t(1-t) P_1 + t^2 P_2, \quad 0 \leq t \leq 1 B(t)=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​,0≤t≤1
几何作图法的步骤：

1.连接 ( P_0 ) 和 ( P_1 ) 以及 ( P_1 ) 和 ( P_2 )。

2.在 ( P_0 ) 到 ( P_1 ) 的连线上，取一点 ( Q_0 )，使得 ：
P 0 Q 0 = t ⋅ P 0 P 1 ; P_0 Q_0 = t \cdot P_0 P_1; P0​Q0​=t⋅P0​P1​;
3.在 ( P_1 ) 到 ( P_2 ) 的连线上，取一点 ( Q_1 )，使得：
P 1 Q 1 = t ⋅ P 1 P 2 ; P_1 Q_1 = t \cdot P_1 P_2; P1​Q1​=t⋅P1​P2​;
4.连接 ( Q_0 ) 和 ( Q_1 )，并在其上取一点 ( B(t) )，使得 ：
Q 0 B ( t ) = t ⋅ Q 0 Q 1 ; Q_0 B(t) = t \cdot Q_0 Q_1; Q0​B(t)=t⋅Q0​Q1​;
5.当 ( t ) 从 ( 0 ) 变化到 ( 1 ) 时，( B(t) ) 的轨迹即为二次Bezier曲线。

三次Bezier曲线

三次Bezier曲线由四个控制点 ( P_0 ), ( P_1 ), ( P_2 ), ( P_3 ) 构成。曲线的定义如下：
B ( t ) = ( 1 − t ) 3 P 0 + 3 t ( 1 − t ) 2 P 1 + 3 t 2 ( 1 − t ) P 2 + t 3 P 3 , 0 ≤ t ≤ 1 ; B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t) P_2 + t^3 P_3, \quad 0 \leq t \leq 1; B(t)=(1−t)3P0​+3t(1−t)2P1​+3t2(1−t)P2​+t3P3​,0≤t≤1;
几何作图法的步骤：

1.连接 ( P_0 ) 和 ( P_1 ), ( P_1 ) 和 ( P_2 ), 以及 ( P_2 ) 和 ( P_3 )。

2.在 ( P_0 ) 到 ( P_1 ) 的连线上，取一点 ( Q_0 )，使得 ：
P 0 Q 0 = t ⋅ P 0 P 1 ; P_0 Q_0 = t \cdot P_0 P_1; P0​Q0​=t⋅P0​P1​;
3.在 ( P_1 ) 到 ( P_2 ) 的连线上，取一点 ( Q_1 )，使得：
P 1 Q 1 = t ⋅ P 1 P 2 ; P_1 Q_1 = t \cdot P_1 P_2; P1​Q1​=t⋅P1​P2​;
4.在 ( P_2 ) 到 ( P_3 ) 的连线上，取一点 ( Q_2 )，使得：
P 2 Q 2 = t ⋅ P 2 P 3 ; P_2 Q_2 = t \cdot P_2 P_3; P2​Q2​=t⋅P2​P3​;
5.连接 ( Q_0 ) 和 ( Q_1 )，并在其上取一点 ( R_0 )，使得：
Q 0 R 0 = t ⋅ Q 0 Q 1 ; Q_0 R_0 = t \cdot Q_0 Q_1; Q0​R0​=t⋅Q0​Q1​;
6.连接 ( Q_1 ) 和 ( Q_2 )，并在其上取一点 ( R_1 )，使得 ：
Q 1 R 1 = t ⋅ Q 1 Q 2 ; Q_1 R_1 = t \cdot Q_1 Q_2; Q1​R1​=t⋅Q1​Q2​;
7.连接 ( R_0 ) 和 ( R_1 )，并在其上取一点 ( B(t) )，使得：
R 0 B ( t ) = t ⋅ R 0 R 1 ; R_0 B(t) = t \cdot R_0 R_1; R0​B(t)=t⋅R0​R1​;
8.当 ( t ) 从 ( 0 ) 变化到 ( 1 ) 时，( B(t) ) 的轨迹即为三次Bezier曲线。

2.Bezier曲面

Bezier曲面是计算机图形学中用于描述和渲染复杂曲面的一种数学模型。它是由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）在20世纪60年代为汽车设计而开发的。Bezier曲面可以通过控制点来定义，这些控制点可以直观地调整曲面的形状。

基本概念

Bezier曲面通常是通过将两个Bezier曲线组合而成的。一个二维的Bezier曲面可以通过以下方式定义：

1. 控制点：
   一组控制点（通常称为控制网格），这些点定义了曲面的形状。 对于一个 n × m 的 B e z i e r 曲面，有 ( n + 1 ) × ( m + 1 ) 个控制点。 一组控制点（通常称为控制网格），这些点定义了曲面的形状。\\ 对于一个n \times m的Bezier曲面，有(n+1) \times (m+1)个控制点。 一组控制点（通常称为控制网格），这些点定义了曲面的形状。对于一个n×m的Bezier曲面，有(n+1)×(m+1)个控制点。

2. 基函数：
   使用 B e r n s t e i n 多项式作为基函数，这些函数定义了每个控制点对曲面上特定点的影响。 使用Bernstein多项式作为基函数，这些函数定义了每个控制点对曲面上特定点的影响。 使用Bernstein多项式作为基函数，这些函数定义了每个控制点对曲面上特定点的影响。

3. 参数化：
   曲面通过两个参数 u 和 v 进行参数化，这两个参数在 0 到 1 之间变化。 曲面通过两个参数u和v进行参数化，这两个参数在0到1之间变化。 曲面通过两个参数u和v进行参数化，这两个参数在0到1之间变化。

数学表示

一个二维的Bezier曲面可以通过以下公式表示：

S ( u , v ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 m B i , n ( u ) B j , m ( v ) P i , j S(u, v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m B_{i, n}(u) B_{j, m}(v) P_{i, j} S(u,v)=i=0∑n​j=0∑m​Bi,n​(u)Bj,m​(v)Pi,j​

其中：

• S ( u , v ) 是曲面上参数为 ( u , v ) 的点。 S(u, v) 是曲面上参数为(u, v)的点。 S(u,v)是曲面上参数为(u,v)的点。

• B i , n ( u ) 和 B j , m ( v ) 是 B e r n s t e i n 基函数，定义为： B_{i, n}(u) 和 B_{j, m}(v) 是Bernstein基函数，定义为： Bi,n​(u)和Bj,m​(v)是Bernstein基函数，定义为：

  B i , n ( u ) = C ( n , i ) u i ( 1 − u ) n − i B_{i, n}(u) = C(n, i) u^i (1 - u)^{n-i} Bi,n​(u)=C(n,i)ui(1−u)n−i
  B j , m ( v ) = C ( m , j ) v j ( 1 − v ) m − j B_{j, m}(v) = C(m, j) v^j (1 - v)^{m-j} Bj,m​(v)=C(m,j)vj(1−v)m−j

• P i , j 是控制点。 P_{i, j} 是控制点。 Pi,j​是控制点。

• C ( n , i ) 是组合数，定义为： C(n, i) 是组合数，定义为： C(n,i)是组合数，定义为：

  C ( n , i ) = n ! i ! ( n − i ) ! C(n, i) = \frac{n!}{i!(n-i)!} C(n,i)=i!(n−i)!n!​

展开示例

假定上述n为2，m为3，则S(u, v)展开式为：

计算Bernstein基函数

对于 B i , 2 ( u ) 和 B j , 3 ( v ) ，我们有： 对于 B_{i, 2}(u) 和 B_{j, 3}(v)，我们有： 对于Bi,2​(u)和Bj,3​(v)，我们有：

• 对于 i = 0 , 1 , 2 ， B i , 2 ( u ) 的表达式为： 对于 i = 0, 1, 2，B_{i, 2}(u) 的表达式为： 对于i=0,1,2，Bi,2​(u)的表达式为：

  B 0 , 2 ( u ) = C ( 2 , 0 ) u 0 ( 1 − u ) 2 = ( 1 − u ) 2 B_{0, 2}(u) = C(2, 0) u^0 (1 - u)^2 = (1 - u)^2 B0,2​(u)=C(2,0)u0(1−u)2=(1−u)2
  B 1 , 2 ( u ) = C ( 2 , 1 ) u 1 ( 1 − u ) 1 = 2 u ( 1 − u ) B_{1, 2}(u) = C(2, 1) u^1 (1 - u)^1 = 2u(1 - u) B1,2​(u)=C(2,1)u1(1−u)1=2u(1−u)
  B 2 , 2 ( u ) = C ( 2 , 2 ) u 2 ( 1 − u ) 0 = u 2 B_{2, 2}(u) = C(2, 2) u^2 (1 - u)^0 = u^2 B2,2​(u)=C(2,2)u2(1−u)0=u2

• 对于 j = 0 , 1 , 2 , 3 ， B j , 3 ( v ) 的表达式为： 对于 j = 0, 1, 2, 3，B_{j, 3}(v) 的表达式为： 对于j=0,1,2,3，Bj,3​(v)的表达式为：

  B 0 , 3 ( v ) = C ( 3 , 0 ) v 0 ( 1 − v ) 3 = ( 1 − v ) 3 B_{0, 3}(v) = C(3, 0) v^0 (1 - v)^3 = (1 - v)^3 B0,3​(v)=C(3,0)v0(1−v)3=(1−v)3
  B 1 , 3 ( v ) = C ( 3 , 1 ) v 1 ( 1 − v ) 2 = 3 v ( 1 − v ) 2 B_{1, 3}(v) = C(3, 1) v^1 (1 - v)^2 = 3v(1 - v)^2 B1,3​(v)=C(3,1)v1(1−v)2=3v(1−v)2
  B 2 , 3 ( v ) = C ( 3 , 2 ) v 2 ( 1 − v ) 1 = 3 v 2 ( 1 − v ) B_{2, 3}(v) = C(3, 2) v^2 (1 - v)^1 = 3v^2(1 - v) B2,3​(v)=C(3,2)v2(1−v)1=3v2(1−v)
  B 3 , 3 ( v ) = C ( 3 , 3 ) v 3 ( 1 − v ) 0 = v 3 B_{3, 3}(v) = C(3, 3) v^3 (1 - v)^0 = v^3 B3,3​(v)=C(3,3)v3(1−v)0=v3

展开公式

将Bernstein基函数代入原公式，展开并计算：

S ( u , v ) = ∑ i = 0 2 ∑ j = 0 3 B i , 2 ( u ) B j , 3 ( v ) P i , j S(u, v) = \sum_{i=0}^2 \sum_{j=0}^3 B_{i, 2}(u) B_{j, 3}(v) P_{i, j} S(u,v)=i=0∑2​j=0∑3​Bi,2​(u)Bj,3​(v)Pi,j​

$$
= B_{0, 2}(u) B_{0, 3}(v) P_{0, 0} + B_{0, 2}(u) B_{1, 3}(v) P_{0, 1} + B_{0, 2}(u) B_{2, 3}(v) P_{0, 2} + B_{0, 2}(u) B_{3, 3}(v) P_{0, 3} \

• B_{1, 2}(u) B_{0, 3}(v) P_{1, 0} + B_{1, 2}(u) B_{1, 3}(v) P_{1, 1} + B_{1, 2}(u) B_{2, 3}(v) P_{1, 2} + B_{1, 2}(u) B_{3, 3}(v) P_{1, 3} \
• B_{2, 2}(u) B_{0, 3}(v) P_{2, 0} + B_{2, 2}(u) B_{1, 3}(v) P_{2, 1} + B_{2, 2}(u) B_{2, 3}(v) P_{2, 2} + B_{2, 2}(u) B_{3, 3}(v) P_{2, 3}
  $$

$$
= (1 - u)^2 (1 - v)^3 P_{0, 0} + (1 - u)^2 3v(1 - v)^2 P_{0, 1} + (1 - u)^2 3v^2(1 - v) P_{0, 2} + (1 - u)^2 v^3 P_{0, 3} \

• 2u(1 - u) (1 - v)^3 P_{1, 0} + 2u(1 - u) 3v(1 - v)^2 P_{1, 1} + 2u(1 - u) 3v^2(1 - v) P_{1, 2} + 2u(1 - u) v^3 P_{1, 3} \
• u^2 (1 - v)^3 P_{2, 0} + u^2 3v(1 - v)^2 P_{2, 1} + u^2 3v^2(1 - v) P_{2, 2} + u^2 v^3 P_{2, 3}
  $$

这就是 B e z i e r 曲面公式 S ( u , v ) 的展开形式，其中 P i , j 是控制点。 这个公式描述了一个由 16 个控制点定义的 2 ∗ 3 的 B e z i e r 曲面，其中 u 和 v 在 [ 0 , 1 ] 范围内变化。 这就是Bezier曲面公式 S(u, v) 的展开形式，其中 P_{i, j} 是控制点。\\ 这个公式描述了一个由16个控制点定义的2*3的Bezier曲面，其中 u 和 v 在 [0, 1] 范围内变化。 这就是Bezier曲面公式S(u,v)的展开形式，其中Pi,j​是控制点。这个公式描述了一个由16个控制点定义的2∗3的Bezier曲面，其中u和v在[0,1]范围内变化。