（注：本小节不是对划线算法事无巨细的证明，如果你需要更加系统的学习，请跳转至文末的参考部分）
如果你是一名曾经学习过图形学基础的学生，那么你一定对画线算法稔熟于心，中点划线算法，Bresenham算法。其中，现代光栅化器中使用最多的就是Bresenham算法，它以去除了除法和浮点运算而著称。

但如果现在让你看下面的这段代码，你能否把它和Bresenham算法联系起来呢？

void Segment::draw(const Point2i begin, const Point2i end, const RGBPixel& color, BMPImage& image)
{
    int x0 = begin.x;
    int y0 = begin.y;
    int x1 = end.x;
    int y1 = end.y;

    int dx = abs(x1 - x0);
    int dy = abs(y1 - y0);
    int sx = (x0 < x1) ? 1 : -1;
    int sy = (y0 < y1) ? 1 : -1;
    int error = dx - dy;

    while (true)
    {
        image.set(x0, y0, color);

        if (x0 == x1 && y0 == y1)
            break;
        int e2 = 2 * error;
        if (e2 > -dy)
        {
            error -= dy;
            x0 += sx;
        }
        if (e2 < dx)
        {
            error += dx;
            y0 += sy;
        }
    }
}

如果你可以顺利地说出每行代码的含义，那么恭喜你，你已经完全掌握了Bresenham算法，你可以跳过本小节，进行下一小节的学习。
但如果你还有所异或，那么相信我，看完本小节，你必定有所收获。

本节目标

在光栅化渲染器中加入画线功能

分析

首先，让我们考虑一种再简单不过的场景，你从一个初始点begin出发，从左向右，沿着斜率在0~1的直线到达end。

这是一个Bresenham算法的基础场景，在这个场景中，我们可以通过中点划线算法知道存在一个判断依据，用于确定在每次遍历时y的值是否需要改变。

这个值的变化由直线方程给出，在这里我们仅使用begin和end给出。（具体论证请翻阅参考）
还记得我们的假设场景么？在这个场景下：

assert: (x0 < x1) and ((y1 – y0) < (x1 – x0))
δx = x1 – x0;
δy = y1 – y0;
incrE = 2 * δy;
incrNE = 2 * (δy - δx);
d = 2 * δy – δx;

保持x递增的同时，判断y是否改变。
d<0 -> d += incrE
else -> d += incrNE and ++y

现在我们得到了在斜率为0~1的时候的Bresenham算法，且begin.x<end.x
那么对于其他场景呢？

1. begin.x > end.x
2. slope < 0 or slope > 1
3. 平行于坐标轴的方向

解决方案：

1. 只需要将begin和end两个点做一下交换即可
2. slope < 0 or slope > 1
   1. slope < 0只需要对begin和end加上符号，最后set的时候再变回来即可
   2. slope > 1这个更加简单，只需要交换xy即可
3. 平行于轴体的方向只需要特判一下进行处理，而且这样效率更高

实现

实际上TinyRenderer的实现思路也是如此：

void line(int x0, int y0, int x1, int y1, TGAImage &image, TGAColor color) { 
    bool steep = false; 
    if (std::abs(x0-x1)<std::abs(y0-y1)) { 
        std::swap(x0, y0); 
        std::swap(x1, y1); 
        steep = true; 
    } 
    if (x0>x1) { 
        std::swap(x0, x1); 
        std::swap(y0, y1); 
    } 
    int dx = x1-x0; 
    int dy = y1-y0; 
    int derror2 = std::abs(dy)*2; 
    int error2 = 0; 
    int y = y0; 
    for (int x=x0; x<=x1; x++) { 
        if (steep) { 
            image.set(y, x, color); 
        } else { 
            image.set(x, y, color); 
        } 
        error2 += derror2; 
        if (error2 > dx) { 
            y += (y1>y0?1:-1); 
            error2 -= dx*2; 
        } 
    } 
} 

而这种实现还可以转化成下面的这种写法，就是上面我们提到的方法，更加优雅，不需要特判条件，使用统一变量。

实现

void Segment::draw(const Point2i begin, const Point2i end, const RGBPixel& color, BMPImage& image)
{
    int x0 = begin.x;
    int y0 = begin.y;
    int x1 = end.x;
    int y1 = end.y;

    int dx = abs(x1 - x0);
    int dy = abs(y1 - y0);
    // 决定决策会落在坐标系四个方位中的哪一个
    int sx = (x0 < x1) ? 1 : -1;
    int sy = (y0 < y1) ? 1 : -1;
    // 维护error，用于决策下一个点的位置
    int error = dx - dy;

    while (true)
    {
        image.set(x0, y0, color);

        if (x0 == x1 && y0 == y1)
            break;
        int e2 = 2 * error;
        // 每次迭代会进行两次决策，共同决定下一个点是在一个角落中的哪一个
        // 如果在x轴上的误差较大
        if (e2 > -dy)
        {
            error -= dy;
            x0 += sx;
        }
        // 如果在y轴上的误差较大
        if (e2 < dx)
        {
            error += dx;
            y0 += sy;
        }
    }
}

误差判别的依据，B，C点

最后记得，反转一下y轴，因为bmp图像中的y轴方向是向下的

结果

Reference

1. # Lesson 1: Bresenham’s Line Drawing Algorithm
2. Bresenham.pdf
3. # wiki Bresenham's line algorithm