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【命题追踪——十进制小数转换为二进制小数(2021、2022)】
【命题追踪——补码的表示范围(2010、2013、2014、2022)】
【命题追踪——机器码与补码、无符号数之间的转换(2021)】
【命题追踪——int 型数据的表示范围(2017、2019)】
【命题追踪——有符号数与无符号数的相互转换(2011、2016、2019)】
【命题追踪——无符号数的零扩展(2012)，补码的符号扩展(2021)】
2.1数制与编码
2.1.1进位计数制及其相互转换
【命题追踪——采用二进制编码的原因(2018)】
在计算机系统内部，所有信息都是用二进制进行编码的，这样做的原因有以下几点。
1) 二进制只有两种状态，使用有两个稳定状态的物理器件就可以表示二进制数的每一位，制造成本比较低，例如用高低电平或电荷的正负极性都可以很方便地表示0和1。
2) 二进制位1和0正好与逻辑值“真”和“假”相对应，为计算机实现逻辑运算和程序中的逻辑判断提供了便利条件。
3) 二进制的编码和运算规则都很简单，通过逻辑门电路能方便地实现算术运算。
【命题追踪——十进制小数转换为二进制小数(2021、2022)】
一个十进制数转换为任意进制数，通常采用基数乘除法。这种转换方法对十进制数的整数部分和小数部分将分别进行处理，对整数部分采用除基取余法，对小数部分采用乘基取整法，最后将整数部分与小数部分的转换结果拼接起来。
【例 2.2】将十进制数 123.6875 转换成二进制数。
解:
除基取余法(整数部分)：整数部分除基取余，最先取得的余数为数的最低位，最后取得的余数为数的最高位(即除基取余，先余为低，后余为高)，商为0时结束。
整数部分:
因此整数部分 123=(1111011)₂。
乘基取整法(小数部分)：小数部分乘基取整，最先取得的整数为数的最高位，最后取得的整数为数的最低位(即乘基取整，先整为高，后整为低)，乘积为1.0(或满足精度要求)时结束。
小数部分:
因此小数部分0.6875=(0.1011)₂，所以 123.6875=(1111011.1011)₂。
注意：关于十进制数转换为任意进制数为何采用除基取余法和乘基取整法，以及所取之数放置位置的原理，请结合r进制数的数值表示公式思考，而不应死记硬背。
注意：在计算机中，小数和整数不一样，整数可以连续表示，但小数是离散的，所以并不是每个十进制小数都可以准确地用二进制表示。
例如 0.3，无论经过多少次乘二取整转换都无法得到精确的结果。但任意一个二进制小数都可以用十进制小数表示，希望读者引起重视。
2.1.2 定点数的编码表示
【命题追踪——补码的表示范围(2010、2013、2014、2022)】
补码表示法中的加减运算统一采用加法操作实现。
正数的补码和原码相同，负数的补码等于模(n+1位补码的模为2ⁿ⁺¹)与该负数绝对值之差。
补码的定义如下:
综合上述定义可知，无论是正数还是负数，[x]补 = 2ⁿ⁺¹+x(-2ⁿ≤x<2ⁿ，mod 2ⁿ⁺¹)。
例如，若 x1 = +1010，x = -1101，字长为8位，则其补码表示为 [x1]补 = 0,0001010，[x2]补 = 2⁸ - 0,0001101= 1,1110011。
若字长为 n+1，则补码整数的表示范围为-2ⁿ≤x≤2ⁿ-1(比原码多表示“-2ⁿ”)。
几个特殊数据的补码表示：
- 1) [+0]补 = [-0]补 = 0,00...0 (含符号位共 n+1 个0)，说明 0 的补码表示是唯一的。
- 2) [-1]补 = 2ⁿ⁺¹-1 = 1,11...1(含符号位共n+1个1)。
- 3) [2ⁿ-1]补 = 0,11..1(n个1)，即n+1位补码能表示的最大整数。
- 4) [-2ⁿ]补 = 1,00...0(n个0)，即n+1位补码能表示的最小整数。
【命题追踪——补码和真值的相互转换(2020、2023)】
在日常生活中，通常用正号、负号来分别表示正数(正号可省略)和负数，如+15、-8等。
这种带“+”或“-”符号的数称为真值。
真值转换为补码：对于正数，与原码的方式一样。
对于负数，符号位取1，其余各位由真值 “各位取反，末位加1” 得到。
补码转换为真值：若符号位为0，与原码的方式一样。
若符号位为1，真值的符号为负，数值部分各位由补码 “各位取反，末位加1” 得到。
【命题追踪——补码大小的判断(2015)】
- ① 原码、补码、反码的符号位相同，正数的机器码相同。
- ② 原码、反码的表示在数轴上对称，二者都存在 +0 和 -0 两个 0。
- ③ 补码、移码的表示在数轴上不对称，零的表示唯一，它们比原码、反码多表示一个数。
- ④ 整数的补码、移码的符号位相反，数值位相同。
- ⑤ 负数的补码、反码末位相差1。
- ⑥ 原码很容易判断大小。而负数的补码、反码很难直接判断大小，可采用如下规则快速判断：对于负数，数值位部分越小，其绝对值越大，即负得越多。
2.1.3整数的表示
【命题追踪——机器码与补码、无符号数之间的转换(2021)】
当一个编码的全部二进制位均为数值位而没有符号位时，该编码表示就是无符号整数，简称无符号数。此时，默认数的符号为正。
因为无符号整数省略了一位符号位，所以在字长相同的情况下，它能表示的最大数比有符号整数能表示的大。
一般在全部是正数运算且不出现负值结果的场合下，使用无符号整数表示。例如，可用无符号整数进行地址运算，或用它来表示指针。
例如，对于8位无符号整数，最小数为0000 0000(值为0)，最大数为1111 1111(值为2⁸-1=255)，即表示范围为0~255；
而对于8位有符号整数，最小数为1000 0000(值为-2⁷= -128)，最大数为 0111 1111(值为2⁷-1=127)，即表示范围为-128~127。
2.1.4 C语言中的整数类型及类型转换
【命题追踪——int 型数据的表示范围(2017、2019)】
C语言中的整型数据就是定点整数，根据位数的不同，可分为字符型(char，8位)、短整型(short 或 shont int, 16 位)、整型(int，32 位)、
长整型(long 或 long int，在 32 位机器中为 32位，在 64 位机器中为 64 位)。
char 是整型数据中比较特殊的一种，其他如 short/int/long 等不指定signed/unsigned 时都默认是有符号整数，但 char 默认是无符号整数。
无符号整数(unsigned short/intlong)的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。
signed/unsigned 整型数据都是按补码形式存储的，只是 signed 型的最高位代表符号位，而在unsigned 型中表示数值位，因此这两者所表示的数据范围也有所不同。
【命题追踪——有符号数与无符号数的相互转换(2011、2016、2019)】
C语言允许在不同的数据类型之间做类型转换。
强制类型转换格式为“TYPE b=(TYPE) a”，强制类型转换后，返回一个具有 TYPE 类型的数值，这种操作并不会改变操作数本身。
先看由 short 型转换到 unsigned short 型的情况。考虑如下代码片段:
int main(){
short x= -4321;
unsigned short y=(unsigned short) x;
printf("x=%d,y=%u\n"，x，y);
}有符号数 x 是一个负数，而无符号数 y 的表示范围显然不包括 x 的值。
在采用补码的机器上，上述程序会输出如下结果:
x = -4321，y = 61215输出的结果中，得到的 y 值似乎与原来的 x 没有一点关系。不过将这两个数转换为二进制表示时，我们就会发现其中的规律，如表 2.1所示。
观察可知，将 short 型强制转换为 unsigned short 型只改变数值，而两个变量对应的每位都是一样的。
通过本例可知，强制类型转换的结果是保持位值不变，仅改变了解释这些位的方式。
再看由 unsigned short 型转换到 short 型的情况。考虑如下代码片段:
int main(){
unsigned short x=65535;
short y= (short)x;
printf("x=%u,y=%d\n"，x，y);
}同样在采用补码的机器上，上述程序会输出如下结果:
x = 65535，y = -1把这两个数转换为二进制表示，同样可以证实之前的结论。
因此，有符号数转换为等长的无符号数时，符号位解释为数值的一部分，负数转换为无符号数时数值将发生变化。
同理，无符号数转换为有符号数时最高位解释为符号位，也可能发生数值的变化。
注意：若同时有无符号数和有符号数参与运算，则C语言标准规定按无符号数进行运算
【命题追踪——无符号数的零扩展(2012)】
另一种常见的运算是在不同字长的整数之间进行类型转换。
先看大字长变量向小字长变量转换的情况。考虑如下代码片段:
int main(){
int x=165537，u=-34991; //int型占用4B
short y=(short)x，v=(short)u; //short型占用2B
printf("x=%d,y=%d\n", x, y);
printf("u=%d，v=%d\n", u, v);
}
运行结果如下:
x = 165537, y = -31071
u = -34991, v = 30545其中 x,y,u,v的十六进制表示分别为 0x000286a1，0x86a1，0xffff07751，0x7751，观察上述数字很容易得出结论，当大字长变量向小字长变量强制类型转换时，系统把多余的高位部分直接截断，低位部分直接赋值，因此也是一种保持位值的处理方法。
再看小字长变量向大字长变量转换的情况。考虑如下代码片段:
int main(){
short x=-4321;
int y=x;
unsigned short u=(unsigned short)x;
unsigned int v=u;
printf("x=%d,y=%d\n", x, y);
printf("u=%u,v=%u\n", u, v);
}运行结果如下:
x = -4321, y = -4321
u = 61215, v = 61215【命题追踪——无符号数的零扩展(2012)，补码的符号扩展(2021)】
x,y,u,v的十六进制表示分别为 0xef1f,0xffffef1f,0xef1f,0x0000ef1f。
由本例可知，小字长到大字长的转换时，不仅要使相应的位值相等，还要对高位部分进行扩展。
若原数字是无符号整数，则进行零扩展，扩展后的高位部分用0填充。否则进行符号扩展，扩展后的高位部分用原数字符号位填充。
其实两种方式扩展的高位部分都可理解为原数字的符号位。
这与之前的三个例子都不一样，从位值与数值的角度看，前三个例子的转换规则都是保证相应的位值相等，而小字长向大字长的转换，在位值相等的条件下还要补充高位的符号位，可以理解为数值的相等。
注意，char 型为 8 位无符号整数，其在转换为 int 型时高位补0即可。
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