拓扑排序
大家好，我是Weekoder！
接上次的二分查找，我又打算写一篇关于拓扑排序的文章！
本文涉及到的知识比较多，请确认已经掌握了以下知识：
其中，第二条并不是必要的，只要你能用自己的方法遍历图上任意一个点所有出边，如使用链式前向星。
好了，当你掌握了这些知识后，我们就可以进入主题了。
拓扑排序的理论概念
在有向无环图（DAG）中，将\(n\)个结点整理出一组排列，使得对于每一条边\(x\to y\)，在排列中\(x\)总是在\(y\)之前，这样的排列称为原图的拓扑序，而制造出拓扑序的算法称为拓扑排序。
拓扑排序的作用
当我们做事情时，往往需要有一个先后顺序。就像早上你需要先起床，再洗脸刷牙，换衣服，然后吃早餐，最后出门。你总不能先出门再起床吧。我们把这些需要处理的事情看作图上的点，事情之间的关系看作一条有向边，这种先后顺序就是拓扑序。这只是一个简单的例子，但如果你有\(100\)个事情，\(1000\)个事情甚至\(10000\)个事情时，他们之间还得有一定的先后顺序，肯定是处理不过来的，于是就有了拓扑排序来处理这类问题。
而又因为洗脸刷牙和换衣服不分先后顺序，所以拓扑序不一定是唯一的。
提问/解释环节
- 有向无环图是啥？
由有向边组成的没有环的图叫有向无环图，又叫DAG。
- 没什么非得是有向无环图？
有向：
因为我们需要满足对于每一条边\(x\to y\)，在排列中\(x\)总是在\(y\)之前，但是在无向图的无向边中是没有前后的概念的。
无环：
我们再来举个例子。假设有两个需要处理的事情\(x\)和\(y\)，并且处理\(y\)需要在\(x\)之前，处理\(x\)需要在\(y\)之前。 这里肯定有人就会觉得奇怪，先别急，我们把它的图给画出来。
可以看到，一条\(x\to y\)的边代表处理\(y\)需要在\(x\)之前，而一条\(y\to x\)的边代表处理\(x\)需要在\(y\)之前。那这不是矛盾了吗？ 没错，因为这样的信息导致既不能完成\(x\)，也不能完成\(y\)，同时还导致上面的图形成了一个环。 也就是说，图中有环会导致信息产生矛盾，从而无法完成所有的事件。
实现拓扑排序
题目大意：
给出\(n\)个人的后代，将\(n\)个人整理出一种顺序，使得辈分大的在前面，小的在后面。
分析：
既然是要整理出一种顺序，不妨试试拓扑排序。我们可以把每个人看作一个结点，并且因为要先输出辈分大的，所以将祖先指向后代来建造有向边。而且这里是一定不会出现环的，因为不可能出现我是你爸爸，然后你又是我爷爷之类的事情，因此只可能构造一个有向无环图。
代码：
先把我的代码贴上来，接下来我会跟着代码上的注释逐一讲解。
\(Code\):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 5; // 数组大小
int n, in[N], x; // 分别是人数，每个点的入度，输入变量
vector<int> nbr[N]; // 存图
// 先去看主函数！
void topo() { // 封装成一个函数
queue<int> q; // 用队列进行操作
for (int i = 1; i <= n; i++) // 先将所有入度为0的点入队
if (!in[i]) // 判断入度是否为0
q.push(i); // 入队
while (!q.empty()) { // 当队列不为空时执行（还有入度为0的点）
int cur = q.front(); // 先记录即将要输出并且要遍历后代的点
q.pop(); // 删除入度为0的点
cout << cur << " "; // 先输出
for (auto nxt : nbr[cur]) { // 看不懂的可以改为：for (int nxt = 0; nxt < nbr[cur].size(); nxt++) 遍历这个点的所有后代
in[nxt]--; // 入度减1
if (!in[nxt]) // 如果入度为0
q.push(nxt); // 入队
}
}
return ; // 一定要写返回！回去看主函数
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0); // 这个可以不用管
cin >> n; // 输入人数
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 循环读入每个人的后代
while (1) {
cin >> x; // 输入后代
if (!x) // 如果为0则跳出
break; // 跳出
nbr[i].emplace_back(x); // 记录i的后代
in[x]++; // x的入度加1
}
}
topo(); // 去看拓扑排序函数
return 0; // 大功告成！
}
OK，我们从主函数看起。
首先是一些输入，我就不讲解了，来看\(while\)循环里的倒数两句：
nbr[i].emplace_back(x);
in[x]++;
这两句是什么意思呢？首先，这里用到了一个\(vector\)容器\(nbr[N]\)和一个数组\(in\)。它们分别是用来干什么的呢？\(nbr[i]\)里面存的是\(i\)的后代，在图中可以理解为\(i\)指向的所有点。因为并不确定有多少个，所以使用\(STL\) \(vector\)。而\(in[i]\)代表的是点\(i\)的入度。点\(i\)的入度指的是有多少条边直接指向\(i\)。比如有三条边\(j\to i\)，\(k\to i\)，\(x\to j\)，那么\(i\)的入度就是\(2\)。于是这里我们就往\(nbr[i]\)中加入了他的后代\(x\)，并且因为在图中相当于是\(i\)指向了\(x\)，于是\(x\)的入度就加了\(1\)。
接下来就该调用我们的拓扑排序函数\(topo\)啦！
在\(topo\)函数中我们需要用到队列的操作，\(STL\) \(queue\)或手写队列都可以。我这里用的是\(STL\) \(queue\)。我们来看看我们要怎样找到一个拓扑序。我们刚才说过\(i\)的入度指的是有多少条边直接指向\(i\)，那么假设我们现在要在图中输出一个符合拓扑序的点\(i\)，\(i\)应该符合什么条件呢？答案是入度为\(0\)。因为假设现在输出的\(i\)是一个入度大于\(0\)的点，那么就必定有一条边\(x\to i\)。也就是如果现在输出\(i\)，那么\(x\)就在\(i\)之后了，不符合拓扑序的规则。
现在我们知道了我们要找入度为\(0\)的点输出，那么我们输出了以后当然也要删除它。于是它指向的所有点的入度都要减\(1\)。但当这些点减了\(1\)后，若它的入度变为\(0\)，则也需要将它入队。请结合代码中的注释自行理解。
总结 + 挑战例题
拓扑排序就是一直将入度为零的点输出、删除并继续统计，最后得到拓扑序，并且这个算法的时间复杂度是\(O(n+m)\)。你是否理解了呢？这里我再给大家出一道挑战例题，相信你一定能\(AC\)。
洛谷\(P2712\) 摄像头