2024新高考一卷数学压轴题分析

考后第一时间根据复刻版写下此篇题解，竝发表一些个人看法。

8 单选压轴

民间答案：B

如预测的一般，单选竝没有压轴。第八题是 Fibonacci 数列，只要你看懂了递推式竝写出每个 \(f(i)\) 的下界即可。

11 多选压轴

题面

已知曲线 \(C\) 如图过原点，到 \(F(2,0)\) 的距离与到定直线 \(x=a\) 的距离乘积为 \(4\)，则：
A \(a=-2\)
B \((2\sqrt{2},0)\in C\)
C \(C\) 在第一象限内点最大纵坐标为 \(1\)
D \((x_0,y_0)\in C\)，则 \(y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}\)

解析与评价

民间答案：ABD

写出一个粗略的方程 \((x+2)\sqrt{(x-2)^2+y^2}=4\)（\(a=-2\) 根据过原点得出），ABD 显然正确不再赘述，关注 C。考虑 \(y=1\) 时第一象限的情况，此时 \(x\) 满足 \((x+2)\sqrt{(x-2)^2+1}=4\) 且 \(x>0\)，化简得 \(x^4-7x^2+4x+4=0\)，注意到 \(x=2\) 为一根，于是因式分解得 \((x-2)(x^3+2x^2-3x-2)=0\)，问题转化成第一象限内 \(y=x^3+2x^2-3x-2\) 是否有根，如果有根则 C 错。

设 \(f(x)=x^3+2x^2-3x-2\)，则 \(f(0)=-2<0\) 且 \(f(2)=8>0\)，因此 \(f(x)\) 在 \((0,2)\) 上存在一根，C 错误。

评价：题目中规中矩，新定义曲线问题也再常见不过，但是选项设置略欠火候，正确选项都能一眼看出。大学背景由于笔者知识限制暂未明确。

14 填空压轴

题面

Alice 拥有 \(1,3,5,7\) 四张卡片，\(Bob\) 拥有 \(2,4,6,8\) 四张卡片，每轮游戏两人随机在自己的卡片中抽取一张，数字大的加一分，然后扔掉各自的卡片。问四轮后 Alice 得分不小于 \(2\) 的概率。

解析与评价

民间答案：\(\dfrac{1}{2}\)

按照题意，我们需要考虑哪些情况下 Alice 能获得至少两分。下面直接用形如 \((12,34,56,78)\) 的数组表示一场游戏，显然总共有 \((4!)^2=576\) 种局面。

如果 Alice 获得三分，那么会形成一种田忌赛马的局面：\((\color{red}{32},\color{red}{54},\color{red}{76},18)\)，然后任意排列这四局，共有 \(4!=24\) 种情况。

如果 Alice 获得两分，那么考虑 Alice 用哪两个数赢的：

用 \(3,5\)，即 \((\color{red}{32},\color{red}{54},78,16)\) 共 \(4!\) 种情况；
用 \(3,7\)，即 \((\color{red}{32},\color{red}{7?},1?,5?)\) 共 \(3\times 4!\) 种情况；
用 \(5,7\)，再分类讨论：\((\color{red}{52},\color{red}{74},1?,3?)\) 共 \(2!\times 4!\) 种、\((\color{red}{52},\color{red}{76},1?,3?)\) 共 \(2!\times 4!\) 种、\((\color{red}{54},\color{red}{72},1?,3?)\) 共 \(2!\times 4!\) 种、\((\color{red}{54},\color{red}{76},1?,3?)\) 共 \(1\times 4!\) 种。

因此答案为 \(\dfrac{1+1+3+2+2+2+1}{4!}=\dfrac{1}{2}\)。

评价：这道题就是普通的高中概率题，只是笔者的做法略麻烦。做完这道题之后才发现所有的 \(4!\) 本就可以在一开始避免，因为顺序显然是可忽略的。答案很有趣，看起来不公平的一个游戏，Alice 得分过半的概率竟然很高。

19 全卷压轴

题面

设 \(m\) 为正整数，数列 \(a_1,a_2,\dots,a_{4m+2}\) 是公差非零的等差数列，若从中删去两项 \(a_i,a_j(i<j)\) 后剩余的 \(4m\) 项可被均分为 \(m\) 组且每组的四个数构成等差数列，则称数列是 \((i,j)\) 可分数列。

(1) \(m=1\) 时写出所有的 \((i,j)\) 使得该数列 \((i,j)\) 可分。
(2) \(m\ge3\) 时，证明该数列是 \((2,13)\) 可分数列。
(3) 从 \(1\sim 4m+2\) 中任取两个数 \(i<j\)，求证该数列为 \((i,j)\) 可分数列的概率 \(p_m>\dfrac 18\)。

解析与评价

民间答案：

不妨设 \(a_i=a+id\)，由于四个数成等差数列时下标一定也成等差数列，所以我们其实可以直接对下标操作，这样就是正整数列。

(1) \((5,6),(1,6),(1,2)\)。理解题意测试，显然其他删去方式不能得到等差数列。

(2) 删去后剩下 \(1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,\dots,4m+1,4m+2\)。考虑这时候如何分组：\((1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14)\)，这样后面的就没有影响了，我们可以直接四个一组地划分，所以结论得证。

(3) 追寻第二问的脚步，我们考虑哪些情况下可分。

由于要求是四个一组，自然考虑按照 \(i\) 除以 \(4\) 的余数，我们可以如 \(1230|1230|1230|...|1230|12\) 地分为 \(m\) 组加两个。

第一种情况：注意到我们任取两组，删去第一组的第一项和第二组的第二项，即删去 \(4i+1\) 和 \(4j+2\)（满足 \(0\le i\le j\le m+1\)）。那么这样划分成的三段每一段都是 \(4\) 的倍数长度，总共 \(\dbinom{m+1}{2}=\dfrac{m(m+1)}{2}\) 个 \((i,j)\) 都是合法的。

第二种情况：仿照第一种情况，我们删去 \(4i+2\) 和 \(4j+1\)，这样第 \(i\) 组之前和第 \(j\) 组第三项之后的正常分，\(4i+1\) 到 \(4j+2\) 之间可以按公差为 \(2\) 分，这样就又是 \(\dbinom{m+1}{2}\) 种情况。

这时候检查一下概率：由于 \(m\ge1\) 所以 \(6m+1<8m\)。因此 \(p_m\ge\dfrac{m(m+1)}{(4m+1)(2m+1)}=\dfrac{m^2+m}{8m^2+6m+1}>\dfrac{m^2+m}{8m^2+8m}=\dfrac 18\)，原命题得证。

评价：这道题据说和北京卷用的一道，确实让人第一眼就是扑面而来的北京味道，而不是一些粗制滥造的大学新定义。题目竝不难，对于训练有素的 MOer 和 OIer 来说应当第一眼就想到按照余数分组。笔者不清楚普通高中生视角下的本题会如何，但前两问至少是可做的。观察到只需要考虑下标和按余数分组是本题的两个重点，这需要一丝丝直觉。这道题由于没有以新定义形式给出的现有理论，自然不涉及九省联考式篡改符号的问题，难度中规中矩，有不错的区分度，可以认为强于九省联考。但是难度似乎不如旧高考压轴导数、圆锥曲线以及历年北京卷，猜测是由于该类题目第一次加入新高考，追求了批阅方便。即便如此，这道题的批阅准确度仍然令人担忧：由于答案靠构造得出，很有可能有数种不同的构造，这会导致许多构造正确的同学被不仔细看的阅卷者扣除分数。笔者曾根据本市模考批阅情况预测，为批阅方便该题最后一问将是求值题，但此题仍然含有大量证明，可见出题者似乎高估了一般阅卷教师的数学水平和专心程度。因此，综合以上因素，笔者认为这是一道中等水平的高考压轴题，可以为将来的高考提供一定的参考。但仍然要注意的是：在反套路的当下，不可将任何一套试卷奉为圭臬。九省联考后各地各校模拟题趋之若鹜，有许多 19 题甚至称得上「群魔乱舞」，但从真题来看，仍然未变通太多。因此 25 届及以后的考生应当注意博采众长，全面发展能力。