卡方分布

简介

卡方分布是一种连续概率分布，常用于统计学中进行假设检验。它描述了在独立抽样中，每个样本的平方偏差之和的分布。卡方分布的形状由其自由度 (df) 参数决定，自由度越大，分布越平缓。

参数

卡方分布用两个参数来定义：

df：自由度，表示卡方分布的形状。自由度必须为正整数。
size：输出数组的形状。

公式

卡方分布的概率密度函数 (PDF) 为：

f(x) = (x^(df/2 - 1) * np.exp(-x/2)) / (2^(df/2) * Gamma(df/2))    for x >= 0

其中：

f(x)：表示在 x 点的概率密度。
x：非负实数。
df：自由度。
np.exp(-x/2)：指数函数。
Gamma(df/2)：伽马函数。

生成卡方分布数据

NumPy 提供了 random.chisquare() 函数来生成服从卡方分布的随机数。该函数接受以下参数：

df：自由度。
size：输出数组的形状。

示例：生成 10 个自由度为 5 的卡方分布随机数：

import numpy as np

data = np.random.chisquare(df=5, size=10)
print(data)

可视化卡方分布

Seaborn 库提供了便捷的函数来可视化分布，包括卡方分布。

示例：绘制 1000 个自由度为 5 的卡方分布随机数的分布图：

import seaborn as sns
import numpy as np

data = np.random.chisquare(df=5, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

练习

1. 模拟 20 个自由度为 10 的卡方分布随机数，并绘制它们的分布图。
2. 比较不同自由度下卡方分布形状的变化。
3. 利用卡方分布来进行卡方检验，假设某枚硬币是公平的，即正面朝上的概率为 0.5。抛掷硬币 100 次，并计算正面朝上的次数是否服从二项分布。

解决方案

import seaborn as sns
import numpy as np
from scipy import stats

# 1. 模拟随机数并绘制分布图
data = np.random.chisquare(df=10, size=20)
sns.distplot(data)
plt.show()

# 2. 比较不同自由度下分布形状的变化
df_values = [2, 5, 10, 20]
for df in df_values:
    data = np.random.chisquare(df=df, size=1000)
    sns.distplot(data, label=f"df={df}")
plt.legend()
plt.show()

# 3. 进行卡方检验
heads = np.random.binomial(n=100, p=0.5)
chi2_stat, p_value = stats.chisquare(heads, f_exp=50)
print("卡方统计量:", chi2_stat)
print("p 值:", p_value)

# 由于 p 值大于 0.05，无法拒绝原假设，即可以认为硬币是公平的。

瑞利分布

简介

瑞利分布是一种连续概率分布，常用于描述信号处理和雷达系统中的幅度分布。它表示在一个随机变量的平方根服从指数分布时，该随机变量的分布。

参数

瑞利分布用一个参数来定义：

scale：尺度参数，控制分布的平坦程度。较大的尺度参数使分布更加平坦，两侧尾部更加分散。默认为 1。

公式

瑞利分布的概率密度函数 (PDF) 为：

f(x) = (x scale) / (scale^2 np.exp(-x^2 / (2 scale^2)))    for x >= 0

其中：

f(x)：表示在 x 点的概率密度。
x：非负实数。
scale：尺

Zipf分布

简介

Zipf分布，又称为Zeta分布，是一种离散概率分布，常用于描述自然语言、人口统计学、城市规模等领域中具有幂律特征的数据分布。它体现了“少数服从多数”的现象，即排名越靠前的元素出现的频率越高。

参数

Zipf分布用一个参数来定义：

a：分布参数，控制分布的形状。a越小，分布越偏向于少数元素，越接近幂律分布。默认为 2。

公式

Zipf分布的概率质量函数 (PMF) 为：

P(k) = 1 / (k ^ a)    for k >= 1

其中：

P(k)：表示第 k 个元素出现的概率。
k：元素的排名，从 1 开始。
a：分布参数。

生成Zipf分布数据

NumPy提供了random.zipf()函数来生成服从Zipf分布的随机数。该函数接受以下参数：

a：分布参数。
size：输出数组的形状。

示例：生成10个服从Zipf分布的随机数，分布参数为2：

import numpy as np

data = np.random.zipf(a=2, size=10)
print(data)

可视化Zipf分布

Seaborn库提供了便捷的函数来可视化分布，包括Zipf分布。

示例：绘制1000个服从Zipf分布的随机数的分布图，分布参数为2：

import seaborn as sns
import numpy as np

data = np.random.zipf(a=2, size=1000)
sns.distplot(data)
plt.show()

练习

1. 模拟不同分布参数下Zipf分布形状的变化。
2. 利用Zipf分布来模拟一个城市的规模分布，并计算排名前10的城市人口占总人口的比例。
3. 比较Zipf分布与幂律分布的异同。

解决方案

import seaborn as sns
import numpy as np

# 1. 模拟不同分布参数下Zipf分布形状的变化
a_values = [1.5, 2, 2.5, 3]
for a in a_values:
    data = np.random.zipf(a=a, size=1000)
    sns.distplot(data, label=f"a={a}")
plt.legend()
plt.show()

2. 模拟城市规模分布并计算人口比例

population = np.random.zipf(a=2, size=100)
top10_population = population[:10].sum()
total_population = population.sum()
print("排名前10的城市人口:", top10_population)
print("排名前10的城市人口比例:", top10_population / total_population)

3. Zipf分布与幂律分布的比较

Zipf分布和幂律分布都描述了“少数服从多数”的现象，即排名越靠前的元素出现的频率越高。

但是，Zipf分布的参数化程度更高，可以更精确地描述不同领域的幂律现象。幂律分布则更通用，但缺乏Zipf分布对参数的控制能力。

具体来说，Zipf分布的PMF为：

P(k) = 1 / (k ^ a)

幂律分布的PMF为：

P(k) = C / k ^ alpha

其中，C为归一化常数。

可见，Zipf分布的参数a控制了分布的倾斜程度，而幂律分布的参数alpha则控制了分布的整体形状。

此外，Zipf分布通常用于描述离散数据，而幂律分布则可以用于描述离散和连续数据。

最后

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