背包九讲 完全背包

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有 N种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

有了01背包的思路 完全背包就比较简单了
我们定义dp[i][j]为前i个物品 放入容积为j的背包能达到的最大价值
那么不妨的情况 dp[i][j] =dp[i-1][j];
在前i个物品 在总体积允许的情况下，不断的尝试放入第i个物品
dp[i][j]= dp[i-1][j-v]+w; 是前i-1个物品 放入容积为j的背包能得到最大价值的基础上， 尝试放入一个物品
在完全背包情况下 dp[i][j]= dp[i][j-v]+w; 只要j小于题目的体积总和，我们可以不断尝试。注意体会dp[i-1][j-v]+w和dp[i][j-v]+w区别
代码如如下

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N][N];
struct NODE{
    int v,w;
}node[N];
int n,v;

int main(){
    cin >>n >>v;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> node[i].v >> node[i].w;
    }
    
    for(int i= 1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=v;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
            if(j>= node[i].v)
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-node[i].v]+node[i].w);
        }
    }
    
    cout << dp[n][v]<<endl;   
}

二维降为一维

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N];
struct NODE{
    int v,w;
}node[N];
int n,v;

int main(){
    cin >>n >>v;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> node[i].v >> node[i].w;
    }
    
    for(int i= 1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j <=v;j++){
            if(j>=node[i].v){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].v]+node[i].w);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[v]<<endl;   
}

在 代码格式编写上做一点小小的简化

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int dp[N];
struct NODE{
    int v,w;
}node[N];
int n,v;

int main(){
    cin >>n >>v;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> node[i].v >> node[i].w;
    }
    
    for(int i= 1;i<=n;i++){
        for(int j=node[i].v;j <=v;j++){
           dp[j]=max(dp[j],dp[j-node[i].v]+node[i].w);
        }
    }
    
    cout << dp[v]<<endl;   
}

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