多段图最短路径（动态规划法）

目录

前言

一、多段图的分析

二、算法思路

三、代码如下：

总结

前言

问题描述：设图G=(V, E)是一个带权有向图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集Vi (2≤k≤n, 1≤i≤k)，使得对于E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m (1≤i≤k, 1＜i+m≤k)，则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路径问题求从源点到终点的最小代价路径。

一、多段图的分析

二、算法思路

具体来说：

• 首先，将起始节点到自身的成本设置为0，路径设置为-1。
• 然后，对于除了起始节点以外的所有节点，初始化它们的成本为一个较大的值（这里使用了1000）。然后检查是否有更短的路径可以到达这些节点，如果有则更新成本和路径。
• 最后，通过遍历路径数组，可以找到起始节点到目标节点的最短路径。

三、代码如下：

int ShortestPath(int arc[100][100],int n){ // 计算图中节点之间的最短路径的函数
    int i,j,cost[n],path[n]; // 声明变量i, j, cost数组和path数组

    cost[0]=0; // 将起始节点的成本设置为0
    path[0]=-1; // 将起始节点的路径设置为-1

    for(j=1;j<n;i++){ // 循环遍历除起始节点以外的所有节点
        cost[j]=1000; // 最初将节点的成本设置为一个较大的数值
        // 检查是否可以通过另一个节点降低当前节点的成本
        for(cost[i]+arc[i][j]<cost[j]){
            cost[j]=cost[i]+arc[i][j]; // 更新节点的成本
            path[j]=i; // 更新节点的路径
        }
    }

    cout<<--n; // 打印最短路径中节点的总数
    for(i=n;path[i]>=0;){ // 遍历路径数组以找到最短路径
        cout<<"<-"<<path[i]; // 打印最短路径中的节点
        i=path[i]; // 更新索引以遍历路径数组
    }

    return cost[n-1]; // 返回最短路径的成本
}

总结

优点：
1. 实现了 Dijkstra 算法的基本思想，能够计算带权重的有向图中起点到目标节点的最短路径，并输出最短路径节点的总数和路径。
2. 使用了数组来存储节点的成本和路径信息，节省了空间，对于小规模的图可能有一定的效率。

缺点：算法中使用的数组大小是固定的，如果图的规模超出了数组的大小范围，程序会出现数组越界的问题。如果图的规模小，则浪费了空间。我是一个小菜鸡，欢迎各路大神批评指正！！