涉及知识点：二进制，贪心

题意

给一个数组 \(a[1], a[2], \ldots, a[n]\)，选择一个数 \(b\)，如果 \(b\) 满足：

则称 \(b\) 是数组 \(a\) 的幻数。

有 \(q\) 次询问，每次永久修改一个数。对于原数组与每次询问后输出最小的幻数，不存在幻数输出 \(-1\)​。

\(n,q\leq 10^6,a[i]\leq 2^{30}\)。

思路

对于这种按位异或的题目，可以去尝试每位单独考虑。

对于 \(a,b\)，称它们二进制下从左往右第一个不同的位为第 \(k\) 位（以下“位”均指二进制下）。

• \(a>b\)时，我们同时将 \(a,b\) 第 \(k\) 位左边的位取反不会影响它们的大小关系，因为第 \(k\) 位左边它们两都一样，取反不会影响大小关系；而如果将第 \(k\) 位右边的位取反也没用，因为第 \(k\) 位已经不一样了，判断大小时是从高位到低位比的。所以只能把第 \(k\) 位取反才能反转它们的大小关系。
• \(a=b\) 时，无论同时取反哪一位，\(a\) 都永远等于 \(b\)。
• \(a<b\) 时，同理取反第 \(k\) 位左边或右边的位都不会影响它们之间的大小关系，唯有取反第 \(k\) 位会反转它们的大小关系。

因此我们对于所有 \((a_{i-1},a_i)\) 求出它们的 \(k\)，如果 \(a_{i-1}<a_i\) 那么第 \(k\) 位不能取反，如果 \(a_{i-1}>a_i\) 那么第 \(k\) 位必须取反，如果有冲突说明无解，否则，必须取反的位为 \(1\)，其余位为 \(0\) 的二进制数便是最小的幻数。

如何处理修改呢？一个数的贡献只与旁边的两个数有关，分开记录“必须取反”与“不能取反”，一个数的做出贡献在第 \(k\) 处 +1，撤销时在第 \(k\) 处 -1，每次只需要 \(O(\log n)\) 就可以扫描是否有冲突并求出答案，具体看代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar __getchar
inline char __getchar(){
    static char ch[1<<20],*l,*r;
    return (l==r&&(r=(l=ch)+fread(ch,1,1<<20,stdin),l==r))?EOF:*l++;
}
#endif
template<class T>inline void rd(T &x){
    T res=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1; ch=getchar();}
    while('0'<=ch && ch<='9'){res=res*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x=res*f;
}
template<class T>inline void wt(T x,char endch='\0'){
    static char wtbuff[20];
    static int wtptr;
    if(x==0){
        putchar('0');
    }
    else{
        if(x<0){x=-x;putchar('-');}
        wtptr=0;
        while(x){wtbuff[wtptr++]=x%10+'0';x/=10;}
        while(wtptr--) putchar(wtbuff[wtptr]);
    }
    if(endch!='\0') putchar(endch);
}
typedef long long LL;
const int MAXN=1e6+5,MAXB=32;
int n,q;
LL a[MAXN];
int forbid[MAXB],active[MAXB];
inline int find_first_diff(LL x,LL y){
    int res=-1;
    LL cmp=1;
    for(int i=0;i<=30;i++,cmp<<=1){
        if((x&cmp)!=(y&cmp)) res=i;
    }
    return res;
}
inline void check(){
    for(int i=0;i<=30;i++){
        if(active[i] && forbid[i]){
            puts("-1");
            return;
        }
    }
    LL res=0,cmp=1;
    for(int i=0;i<=30;i++,cmp<<=1){
        if(active[i]) res+=cmp;
    }
    wt(res,'\n');
}
int main(){
    rd(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        rd(a[i]);
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(a[i]>a[i-1]) forbid[find_first_diff(a[i],a[i-1])]++;
        else if(a[i]<a[i-1]) active[find_first_diff(a[i],a[i-1])]++;
    }
    check();
    rd(q);
    for(int i=1,p;i<=q;i++){
        LL v;
        rd(p);rd(v);
        if(p!=1){
            if(a[p]>a[p-1]) forbid[find_first_diff(a[p],a[p-1])]--;
            else if(a[p]<a[p-1]) active[find_first_diff(a[p],a[p-1])]--;
        }
        if(p!=n){
            if(a[p+1]>a[p]) forbid[find_first_diff(a[p+1],a[p])]--;
            else if(a[p+1]<a[p]) active[find_first_diff(a[p+1],a[p])]--;
        }
        a[p]=v;
        if(p!=1){
            if(a[p]>a[p-1]) forbid[find_first_diff(a[p],a[p-1])]++;
            else if(a[p]<a[p-1]) active[find_first_diff(a[p],a[p-1])]++;
        }
        if(p!=n){
            if(a[p+1]>a[p]) forbid[find_first_diff(a[p+1],a[p])]++;
            else if(a[p+1]<a[p]) active[find_first_diff(a[p+1],a[p])]++;
        }
        check();
    }
    return 0;
}