P8764 [蓝桥杯 2021 国 BC] 二进制问题

一、问题简析

本题采用数位dp求解。

令 \(f[i][j]=\) 在 \(i\) 位二进制中，有 \(j\) 个 \(1\)，共有几个数。（相当于求组合数）
由于数据范围为 \(1\le N\le 10^{18}\)，最大二进制位数设置为 70，防止溢出。

预处理组合数

for (int i = 0; i < MAX; ++i)    f[i][0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAX; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j];

分类讨论

从二进制的高位到低位，对于第 \(i\) 位，边界 \(R\) 为 \(a_i\)，记第 \(i\) 位之前有 last 个 \(1\)，分情况：
若 \(a_i==0\)，直接跳过。
若 \(a_i==1\)，

• 第 \(i\) 位放 0，则后 i - 1 位可以放 K - last 个 \(1\)，答案加上 f[i - 1][K - last]。
• 第 \(i\) 位放 1，然后 ++last，接着讨论下一位。

二、Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll quickin(void)
{
	ll ret = 0;
	bool flag = false;
	char ch = getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
	{
		if (ch == '-')    flag = true;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0' && ch <= '9' && ch != EOF)
	{
		ret = ret * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	if (flag)    ret = -ret;
	return ret;
}

const int MAX = 70;
ll N, K, f[MAX][MAX];
int A[MAX]; // 存N的二进制

ll dp(ll x)
{
	if (!x)    return 0; // 0没有1 
	
	// 转换为二进制 
	int cnt = 0; // 二进制位数 
	while (x)
	{
		A[++cnt] = x % 2;
		x /= 2;
	}
	
	ll ans = 0;
	int last = 0; // 第i位之前1的个数 
	for (int i = cnt; i >= 1; --i)
	{
		if (A[i])
		{
			ans += f[i - 1][K - last]; // 第i位放0 
			
			++last; // 第i位放1 
			if (last > K)    break; // 1的个数已大于K，没有接下去讨论的必要 
		}
		
		if (i == 1 && last == K)    ++ans; // 特判，即x本身也满足条件 
	}
	
	return ans;
}

int main()
{
	#ifdef LOCAL
	freopen("test.in", "r", stdin);
	#endif
	
	N = quickin(), K = quickin();
	
	// 组合数初始化
	for (int i = 0; i < MAX; ++i)    f[i][0] = 1;
	for (int i = 1; i < MAX; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j];
	
	cout << dp(N) << endl; // 原式为 dp(N) - dp(0) = dp(N) - 0 
	
	return 0;
}

完