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题目

CF527E Data Center Drama · 戳这里

题意

• 给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的连通无向图。
• 你需要加尽可能少的边，然后给所有边定向，使得每一个点的出入度都是偶数。
• 边可以是自环，也可以有重边。
• $n \le 10^5$，$m \le 2 \times 10^5$。

（本题是 SPJ，所以顺序不用管）

题解

思路

所有顶点度数都为偶数，且该图是连通图，是无向图存在欧拉回路的充要条件。

所以我们需要将所有顶点度数为奇数的点两两相连，但是并不是所有存在欧拉回路的图都满足条件，还需要满足边数为偶数。

所以如果最后边数是奇数，随便找个点连个自环即可（这里就把 1 号节点连一个自环了）。

这显然是最少的加边方案，最后跑一个欧拉回路出来，然后隔一条边换一个方向即可。

详解

首先，存图我们用链式前向星存,然后在记录每个点的入度。

这里我们第一条边从 $2$ 开始记，因为这样我们按顺序记录正着的边和反着的边，反着的边的编号就等于正着的边的编号异或 $1$。

int edge_tot = 1;
int in_cnt[N];
int head[N];

struct Edge {
	int to;
	int nxt;
};

Edge edge[N];

void add(int u, int v) {
	++edge_tot;
	edge[edge_tot].to = v;
	edge[edge_tot].nxt = head[u];
	head[u] = edge_tot;
	++in_cnt[v];
}

接下来是主函数的输入部分。

int n, m;
int u, v;

scanf("%d%d", &n, &m);

for(int i = 1; i <= n; ++i)
  head[i] = -1;

for(int i = 1; i <= m; ++i) {
  scanf("%d%d", &u, &v);
  add(u, v);
  add(v, u);
}

然后记录一下入度为奇数的点。

我们用一个 $vector$ 来存。

vector <int> ill;

然后将所有入度为奇数的点都压进去。

for(int i = 1; i <= n; ++i)
  if(in_cnt[i] & 1)
    ill.push_back(i);

再把它们两两相连。

for(int i = 0; i < ill.size(); i += 2) {
  add(ill[i], ill[i + 1]);
  add(ill[i + 1], ill[i]);
  ++m;
}

然后判断如果这时候边数 $m$ 是奇数，就给 $1$ 号节点加个自环。

if(m & 1) {
  add(1, 1);
  ++m;
}

先输出一个边数 $m$。

printf("%d\n", m);

然后就是输出边了，这里跑个欧拉回路就行了。

bool vis[N];
int print_tot;

void dfs(int u) {
	for(int &i = head[u]; i != -1; ) {
		int v = edge[i].to;
		
		if(vis[i]) {
			i = edge[i].nxt;
			continue;
		}
		
		vis[i] = vis[i ^ 1] = true;
		
		i = edge[i].nxt;
		
		dfs(v);
		
		++print_tot;
		
		if(print_tot & 1)
			printf("%d %d\n", u, v);
		else
			printf("%d %d\n", v, u);
	}
}

注意事项

• for(int &i = head[u]; i != -1; ) 里的 &i。

• i = edge[i].nxt; 要写两遍，不能提到前面，否则后面的 i 就都变了。

代码

#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int n, m;
int u, v;
int edge_tot = 1;
int in_cnt[N];
vector <int> ill;
bool vis[N];
int print_tot;
int head[N];

struct Edge {
	int to;
	int nxt;
};

Edge edge[N];

void add(int u, int v) {
	++edge_tot;
	edge[edge_tot].to = v;
	edge[edge_tot].nxt = head[u];
	head[u] = edge_tot;
	++in_cnt[v];
}

void dfs(int u) {
	for(int &i = head[u]; i != -1; ) {
		int v = edge[i].to;
		
		if(vis[i]) {
			i = edge[i].nxt;
			continue;
		}
		
		vis[i] = vis[i ^ 1] = true;
		
		i = edge[i].nxt;
		
		dfs(v);
		
		++print_tot;
		
		if(print_tot & 1)
			printf("%d %d\n", u, v);
		else
			printf("%d %d\n", v, u);
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		head[i] = -1;
	
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add(u, v);
		add(v, u);
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		if(in_cnt[i] & 1)
			ill.push_back(i);
	
	for(int i = 0; i < ill.size(); i += 2) {
		add(ill[i], ill[i + 1]);
		add(ill[i + 1], ill[i]);
		++m;
	}
	
	if(m & 1) {
		add(1, 1);
		++m;
	}
	
	printf("%d\n", m);
	
	dfs(1);
	
	return 0;
}

AC 记录

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尾声

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