1.题目
题目地址(258. 各位相加 - 力扣（LeetCode）)
https://leetcode.cn/problems/add-digits/?envType=study-plan-v2&envId=primers-list
题目描述
给定一个非负整数 num，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数。返回这个结果。
示例 1:
输入: num =38输出: 2 解释: 各位相加的过程为： 38 --> 3 + 8 --> 11 11 --> 1 + 1 --> 2 由于2是一位数，所以返回 2。
示例 2:
输入: num = 0 输出: 0
提示：
0 <= num <= 231 - 1
进阶：你可以不使用循环或者递归，在 O(1) 时间复杂度内解决这个问题吗？
2. 题解
这道题的本质是计算自然数num的数根。
数根又称数字根(Digital root),是自然数的一种性质，每个自然数都有一个数根。对
于给定的目然数，反复将各个位上的数字相加，直到结果为一位数，则该一位数即为原自然数的数根。
计算数根的最直观的方法是模拟计算各位相加的过程，直到剩下的数字是一位数。利用自然数的性质，则能在\(O(1)\)的时间内计算数根。
2.1 模拟
思路
就是拆分,求和,再拆分,再求和; 直到只剩下个位数
代码
- 语言支持：C++
C++ Code:
class Solution {
public:
int addDigits(int num) {
while(num >= 10){
int sum = 0;
while(num > 0){
sum += num % 10;
num /= 10;
}
num = sum;
}
return num;
}
};
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：\(O(lognum)\)
- 空间复杂度：\(O(1)\)
2.2 数学方法(拆分-补缺)
思路
假设整数num的十进制表示有\(n\)位，从最低位到最高位依次是\(a_0\)到\(a_{n-1}\)
则 num 可以写成如下形式(每一位都分出来个1, 用于构成树根):
\(\begin{aligned} num& =\sum_{i=0}^{n-1}a_i\times10^i \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\times(10^i-1+1) \\ &=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\times(10^i-1)+\sum_{i=0}^{n-1}a_i \end{aligned}\)
当\(i=0\)时，\(10^i-1=0\)是 9 的倍数；
当\(i\)是正整数时，\(10^i-1\)是由\(i\)位9 组成的整数，也是 9 的倍数。
因此对于任意非负整数\(i,10^i-1\)都是 9 的倍数。由此可得num与其各位相加的结果模 9 同余。
重复计算各位相加的结果果直到结果为一位数时，该一位数即为num的数根，num与其数根模 9 同余。
我们对num分类讨论：
num不是 9 的倍数时，其数根即为num除以 9 的余数。
num是 9 的倍数时：
\(\circ\)如果\(num=0\),则其数根是0；
\(\circ\)如果\(num>0\) ,则各位相加的结果大于0，其数根也大于0，因此其数根是 9。
细节
根据上述分析可知，当\(num>0\)时，其数根的结果在范围[1,9] 内，因此可以想到计算\(num-1\)除以 9 的余数然后加 1。
由于当\(num>0\)时，\(num-1\geq0\) ,非负数除以 9 的余数一定也是非负数，因此计算\(num-1\)除以 9 的余数然后加 1 的结果是正确的。
当\(num=0\)时，\(num-1=-1<0\) ,负数对 9 取余或取模的结果的正负在不同语言中有所不同。
\(\circ\)对于取余的语言，结果的正负和左操作数相同，则\(num-1\)对 9 取余的结果为-1 ,加 1 后得到结果0，可以得到正确的结果；
\(\circ\)对于取模的语言，结果的正负和右操作数相同，则\(num-1\)对 9 取模的结果的果为 8,加 1 后得到结果 9,无法得到正确的结果，此时需要对\(num=0\)的情况专门做处理。
代码
class Solution {
public:
int addDigits(int num) {
return (num - 1) % 9 + 1;
}
};