1.题目介绍
题目地址(c - 力扣（LeetCode）)
https://leetcode.cn/problems/find-greatest-common-divisor-of-array/
题目描述
给你一个整数数组 nums ，返回数组中最大数和最小数的 最大公约数 。
两个数的 最大公约数 是能够被两个数整除的最大正整数。
示例 1：
输入：nums = [2,5,6,9,10] 输出：2 解释： nums 中最小的数是 2 nums 中最大的数是 10 2 和 10 的最大公约数是 2
示例 2：
输入：nums = [7,5,6,8,3] 输出：1 解释： nums 中最小的数是 3 nums 中最大的数是 8 3 和 8 的最大公约数是 1
示例 3：
输入：nums = [3,3] 输出：3 解释： nums 中最小的数是 3 nums 中最大的数是 3 3 和 3 的最大公约数是 3
提示：
2 <= nums.length <= 10001 <= nums[i] <= 1000
2. 题解
2.1 辗转相除法
思路
我们先来看一组例子，求252和105的最大公约数21
252 = 21 * 12， 105 = 21 * 5
252 / 105 = 2 ... 212
105 / 21 * 2 = 2 ... 211
212 / 211 = 2...0
我们可以看到由于拥有gcd(252,105) = 21, 每次在进行除法的时候，我们都可以看做， gcd() * x / gcd() * y = x / y ...gcd()*(x % y)
最大公约数的部分必定能被整除，且随着除法保留在余数中，而变化的只有跟最大公约数gcd相邻的赘余部分，则是在一次次辗转相除中越来越小，直到被整除消除
代码
代码使用递推的思路完成,当然是用递归也十分简单,但是消耗资源较多(尤其在嵌套层数过多时)
- 语言支持：C++
C++ Code:
递推方式
class Solution {
public:
vector<int> findMinAndMax(vector<int>& nums) {
int maxNum = 0, minNum = 1000;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
maxNum = max(maxNum, nums[i]);
minNum = min(minNum, nums[i]);
}
return vector<int>{maxNum, minNum};
}
int findGCD(vector<int>& nums) {
vector<int> ans = findMinAndMax(nums);
int n1 = ans[0], n2 = ans[1];
while (n2 != 0) {
int temp = n2;
n2 = n1 % n2;
n1 = temp;
}
return n1;
}
};
递归方式
class Solution {
public:
vector<int> findMinAndMax(vector<int>& nums) {
int maxNum = 0, minNum = 1000;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
maxNum = max(maxNum, nums[i]);
minNum = min(minNum, nums[i]);
}
return vector<int>{maxNum, minNum};
}
int findGCD(int n1, int n2) {
if(n2 == 0) return n1;
return findGCD(n2, n1 % n2);
}
int findGCD(vector<int>& nums) {
vector<int> ans = findMinAndMax(nums);
int n1 = ans[0], n2 = ans[1];
return findGCD(n1, n2);
}
};
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：\(O(n)\)
- 空间复杂度：\(O(n)\)
2.2 更相减损术
思路
对于n1 % n2的计算, 对于计算机不是很友好, 计算机更加适应加法运算(减法即反向加法)运算, 所以可以考虑采用更相减损术.
更相减损术: 总是将除数和余数的较大数作为被减数, 较小值作为减数, 不断更相减损术, 由下面的例子可知, 同辗转相除法, 都是保留了最大公约数, 而不同的是, 对于赘余部分其做了一个减法,而上面做的是除法.
252 = 21 * 12， 105 = 21 * 5
252 - 105 = 21 * (12 - 5) = 147(21 * 7)
21 * 7 - 21 * 5 = 21 * 2
21 * 5 - 21 * 2 = 21 * 3
21 * 3 - 21 * 2 = 21 * 1
21 * 2 - 21 * 1 = 21 * 1
21 * 1 - 21 * 1 = 0
代码
递推方式
class Solution {
public:
vector<int> findMinAndMax(vector<int>& nums) {
int maxNum = 0, minNum = 1000;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
maxNum = max(maxNum, nums[i]);
minNum = min(minNum, nums[i]);
}
return vector<int>{maxNum, minNum};
}
int findGCD(int n1, int n2) {
while(n1 != n2){
int temp = n1 - n2;
n1 = max(temp, n2);
n2 = min(temp, n2);
}
return n1;
}
int findGCD(vector<int>& nums) {
vector<int> ans = findMinAndMax(nums);
int n1 = ans[0], n2 = ans[1];
return findGCD(n1, n2);
}
};
递归方式
class Solution {
public:
vector<int> findMinAndMax(vector<int>& nums) {
int maxNum = 0, minNum = 1000;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
maxNum = max(maxNum, nums[i]);
minNum = min(minNum, nums[i]);
}
return vector<int>{maxNum, minNum};
}
int findGCD(int n1, int n2) {
if(n1 == n2) return n1;
return findGCD(max(n1-n2, n2), min(n1-n2, n2));
}
int findGCD(vector<int>& nums) {
vector<int> ans = findMinAndMax(nums);
int n1 = ans[0], n2 = ans[1];
return findGCD(n1, n2);
}
};
复杂度分析
令 n 为数组长度。
- 时间复杂度：\(O(n)\)
- 空间复杂度：\(O(n)\)