拓扑学基础

拓扑学基础

1. 拓扑空间 \((X, \mathcal{T})\)：\(\varnothing, X\in \mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)\) 且对任意并、有限交封闭
2. 子集 \(A\) 的点 \(x\) 的分类
   • 内点（内部 \(A^\circ\)）：\(x\in X,A\in\mathcal{U}(x)\)
   • 边界点（边界 \(A^b\)）：\(x\not\in A^e\) 且 \(x\not\in A^\circ\)
   • 外点（外部 \(A^e\)）：\(A\) 的补集 \(A^c\) 的内点
   • 接触点（闭包 \(\overline{A}\)）：对任意 \(U\in\mathcal{U}(x)\)，恒有 \(U\bigcap A\neq\varnothing\)
   • 聚点（导集 \(A^{\prime}\)）：\(x\) 是 \(A\setminus\{x\}\) 的接触点
     • ω 聚点：含有 \(x\) 的任一开集必含有 \(A\) 的无穷多个点
     • 凝聚点：含有 \(x\) 的任一开集必含有 \(A\) 中不可数个点
     • 完备集：\(A=A^{\prime}\)
   • 孤立点（\(A^i\)）：\(x\in A\) 且存在 \(V\in\mathcal{A}(x)\)，使得 \(V\bigcap A=\{x\}\)
   • \(X=\overline{A} \cup A^e, \overline{A}=A^b\cup A^\circ=A^\prime\cup A^i\)
3. 子集 \(A\) 的分类
   • \(A\) 在 \(B\) 中稠密：\(B\subset\overline{A}\)
   • A 在 X 中无处稠密：\((\overline{A})^\circ=\varnothing\)
   • 第一纲集：可数个无处稠密集的并集
   • 第二纲集：非第一纲集
4. 拓朴不变量（拓扑性质）：两个同胚的拓朴空间之间相同的内秉性质
   • 任何只用开集和闭集描述的性质都是拓扑性质
   • 可分性
     • 点与点的分离
       • \(T_0\)：任意两点中有一点能用开集将其与另外一点分离
       • \(T_1\)：任意两点中每一点均能用开集将其与另外一点分离 \(\iff\) 任意单点集是闭集
       • \(T_2\)（Hausdorff）：任意两点均能用两个不交开集分离 \(\iff\{(x,x)\mid x\in X\}\) 是乘积空间 \(X\times X\) 的闭子集
     • 点与闭集的分离
       • 正则：任一闭集及不属于该闭集的点均能用两个不交开集分离 \(\iff\) 任给 \(X\) 中开集 \(U\) 以及 \(x\in U\)，存在开集 \(V\) 使得 \(x\in V\subseteq\overline{V}\subseteq U\)
       • \(T_3\)：\(T_0\) + 正则
     • 闭集与闭集的分离
       • 正规：任意两个不交闭集均能用两个不交开集分离 \(\iff\) 任给 \(X\) 中开集 \(U\) 以及闭集 \(F\)，若 \(F\subseteq U\)，则存在开集 \(V\) 使得 \(F\subseteq V\subseteq\overline{V}\subseteq U\)
       • \(T_4\)：\(T_1\) + 正规
       • \(T_4\implies T_3\implies T_2\implies T_1\implies T_0\)
       • 第二可数 + 正则空间 \(\implies\) 正规空间
   • 可数性
     • 第一可数：任意一点均有可数邻域基
     • 第二可数：任意一点均有可数基
     • 可分：
   • 紧致性
     • 紧：任意开覆盖均有有限子覆盖 \(\iff\) 任意满足有限交性质的闭集族有非空的交
       • 紧空间的无穷子集必有（凝）聚点（极限点）
       • Hausdorff 空间的紧子集是闭集
       • 从紧致空间 \(X\) 到 Hausdorff 空间 \(Y\) 的连续一对一的满映射是同胚映射
     • 极限点紧：任意无穷子集必有极限点
     • 可数紧：任意可数开覆盖均有有限子覆盖
   • 连通性
   • 
   • 基本群，
5. 拓扑空间 \((X,\mathcal{T})\) 的子集 \(U\) 称为 \((X,\mathcal{T})\) 的序列开集，若任给 X 的序列 \(\{x_n\}\)，只要 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(x\in U\)，则 \(\{x_n\}\) 终在 \(U\) 中；容易验证 \(X\) 的全体序列开集 \(s(\mathcal{T})\) 构成 \(X\) 上的一个比 \(\mathcal{T}\) 细的拓扑；
   • 拓扑空间 \((X,\mathcal{T})\) 称为序列空间（sequential space），若 \(\mathcal{T}=s(\mathcal{T})\)，即 \((X,\mathcal{T})\) 的序列开集都是开集
     • 第二可数 \((C_2)\implies\) 第一可数 \((C_2)\implies\) 序列空间
     • 度量空间 \(\implies\) 第一可数 \((C_2)\implies\) 序列空间
     • 度量空间不一定第二可数，存在第二可数的非度量空间
     • 在度量空间假设下，可分 \(\iff\) 第二可数 \(\iff\) Lindelof（任意开覆盖均有可数子覆盖）
   • 序列紧 \(\overset{ss}\rightleftharpoons\) 可数紧 \(\underset{Lindelof}\rightleftharpoons\) 紧
   • 度量空间/第二可数 \((C_2)\implies\)（序列紧 \(\iff\) 紧）
6. 代数结构、拓扑结构的等价
   • 同态（Homomorphism）：\(f(a)f(b)=f(ab)\)（保持代数结构）
   • 同构（Isomorphism）：一一对应的同态
   • 同胚（Homeomorphism）：\(f\) 连续、双射且逆映射连续（保持拓扑结构）