数论

D - Together Square (atcoder.jp)

给你一个 \(n\) ，求有多少对 \((i,j)\) 满足 \(i∗j\) 是一个平方数， \(i,j\) 满足小于等于 \(n\) 。

思路：枚举 \(i\) ，看有多少 \(j\) 跟它相乘是平方数

分两种情况：

​ 如果 \(i\) 是平方数，那么 \(j\) 必须是平方数。

​ 如果 \(i\) 不是平方数:

​ 找到最小的跟 \(i\) 相乘是平方数的 \(x\)，怎么找这个数呢？

​ 要用到质因数分解，比如 \(12600=2^3*3^2*5^2*7^1\)，这显然不是一个平方数，要让它成为平方数

​ 就要让次数为奇数的因子变成偶数，比如 \(12600\) 的 \(2\) 和 \(7\)，也就是给它们各在分配一个，所以

​ \(12600*2*7\) 就是平方数，我们把 \(2*7\) 拿出来，那么这个数就是与 \(12600\) 相乘是平方数的最小数

​ 所以 \(2*7\) 就算一个贡献，很容易直到还有 \(2*7*2^2,2*7*3^2,...,2*7*x^2\)，这个数要小于 \(n\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
#define ll long long
ll n;
ll ans = 0;
void divid(int x)
{
    int res = 1;
    for (int i = 2; i*i <= x; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            int cnt = 0;
            while (x % i == 0)
            {
                x /= i;
                cnt++;
            }
            if (cnt % 2)
            {
                res *= i;
            }
        }
    }
    if (x > 1)
        res *= x;//如果x还剩因子，那这个因子的次数一定是1，假设该因子是e,那么e*e>x，说明x只有一个e。
    //cout << res << endl;
    for (int i = 1; i * i * res <= n ; i++)
    {
        ans++;
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        divid(i);
    }
    cout << ans;
}