P2680 [NOIP2015 提高组] 运输计划

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二分+树剖

开始题目理解错了，这里的最短时间指的是所有路径的最大值。所以题目要求的就是让所有路径的最大值最小，显然可以二分。

二分最大值 \(x\)，那么假如一条路径长度为 \(d\) 并且 \(d>x\)，显然需要修改，即一定要删去路径上的一条边 \((u,v)\)，满足 \(d-w(u,v)\le x\)，即 \(w(u,v)\ge d-x\)。开始的时候想的做法是，把每条路径满足这个条件的边标记+1，最后看是否有这样的边满足标记等于需要修改的路径数，可我们并没有这样一个数据结构能够快速找到满足这种条件的边。

考虑另一个角度，可以发现我们要修改的边一定是所有需要修改的路径的交集，所以我们完全可以找到这个交集，再判断交集内的边是否有满足 \(w\ge\max(d)-x\)。这个做法只需要把需要修改的路径上的边+1，树剖即可。这里的角度是把修改的边集找出来，最后再判断边集中是否有边满足条件。

先二分，再树剖标记，这样的复杂度为 \(O((m\log n+n)\log V)\)，可以通过。

#include <bits/stdc++.h>
#define pii std::pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

typedef long long i64;
const i64 iinf = 0x3f3f3f3f, linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 3e5 + 10;
int n, m, cnt;
int dis[N], h[N];
std::array<int, 3> G[N];
bool cmp(std::array<int, 3> a, std::array<int, 3> b) {
	return a[2] > b[2];
}
struct node {
	int to, nxt, w;
} e[N << 1];
void add(int u, int v, int w) {
	e[++cnt].to = v, e[cnt].nxt = h[u], e[cnt].w = w, h[u] = cnt;
}
int num;
int sz[N], dep[N], id[N], son[N], fa[N], top[N], val[N];
void dfs1(int u, int f) {
	sz[u] = 1;
	dep[u] = dep[f] + 1;
	fa[u] = f;
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to, w = e[i].w;
		if(v == f) continue;
		dis[v] = dis[u] + w;
		dfs1(v, u);
		val[v] = w;
		sz[u] += sz[v];
		if(sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;
	} 
}	
void dfs2(int u, int topf) {
	top[u] = topf;
	id[u] = ++num;
	if(!son[u]) return;
	dfs2(son[u], topf);
	for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if(v == fa[u] || v == son[u]) continue;
		dfs2(v, v);
	}
}
int lca(int u, int v) {
	while(top[u] != top[v]) {
		if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) std::swap(u, v);
		u = fa[top[u]]; 
	}
	if(dep[u] > dep[v]) std::swap(u, v);
	return u; 
}
struct seg {
	int v, lzy;
} t[N << 2];
void pushup(int u) {t[u].v = t[u << 1].v + t[u << 1 | 1].v;}
void pd(int u, int l, int r) {
	if(!t[u].lzy) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	t[u << 1].v += (mid - l + 1) * t[u].lzy; t[u << 1 | 1].v += (r - mid) * t[u].lzy;
	t[u << 1].lzy += t[u].lzy, t[u << 1 | 1].lzy += t[u].lzy;
	t[u].lzy = 0;
}
void build(int u, int l, int r) {
	t[u].v = t[u].lzy = 0;
	if(l == r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
}
int query(int u, int l, int r, int x) {
	if(l == r) return t[u].v;
	int mid = (l + r) >> 1; pd(u, l, r);
	if(x <= mid) return query(u << 1, l, mid, x);
	return query(u << 1 | 1, mid + 1, r, x);
} 
void update(int u, int l, int r, int L, int R, int x) {
	if(L <= l && r <= R) {
		t[u].v += (r - l + 1) * x;
		t[u].lzy += x;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1; pd(u, l, r);
	if(L <= mid) update(u << 1, l, mid, L, R, x);
	if(R > mid) update(u << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
	pushup(u);
}
void mdf(int u, int v) {
	while(top[u] != top[v]) {
		if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) std::swap(u, v);
		update(1, 1, n, id[top[u]], id[u], 1);
		u = fa[top[u]];
	}
	if(dep[u] > dep[v]) std::swap(u, v);
	update(1, 1, n, id[u] + 1, id[v], 1);
} 
bool check(int x) {
	build(1, 1, n);
	int cnt = 0, mx = 0, nd = 0;
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		if(G[i][2] <= x) break;
		mdf(G[i][0], G[i][1]); cnt++;  
	}
	if(!cnt) return 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++) {
		if(query(1, 1, n, id[i]) == cnt) mx = std::max(mx, val[i]);
	} 
	return mx >= G[1][2] - x;
}
void Solve() {
	std::cin >> n >> m;

	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int u, v, w;
		std::cin >> u >> v >> w;
		add(u, v, w), add(v, u, w); 
	}

	dfs1(1, 0), dfs2(1, 1);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		std::cin >> G[i][0] >> G[i][1];
		int rt = lca(G[i][0], G[i][1]);
		G[i][2] = dis[G[i][0]] + dis[G[i][1]] - 2 * dis[rt];
	}
	std::sort(G + 1, G + m + 1, cmp);
	int l = 0, r = 300000000, ans = 0;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(check(mid)) r = mid - 1, ans = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	std::cout << ans << "\n";
}
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
	Solve();

	return 0;
}