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最大化运输问题求解——Python实现

时间：2024-03-22 21:55:42浏览次数：40  
标签：最大化 运输 求解 Python sum ij hline ... array

运输问题（Transportation Problem）是运筹学中的经典问题，通常涉及将资源从供应点转移到需求点，以最小化运输成本或满足需求。这个问题在各种实际场景中都有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：供应链管理：在供应链中，最小化运输问题可用于确定最有效的货物运输方式，以满足各个节点之间的需求。这包括原材料从供应商到制造商、成品从制造商到分销商、以及最终产品从分销商到消费者的运输；生产计划：在制造业中，通过最小化运输问题可以优化原材料的运输和配送，以确保生产线上的原材料及时到达，从而最大程度地减少生产停滞和库存成本；市场营销：在市场营销中，最小化运输问题可以用于确定最佳的销售区域和分销网络，以最大程度地减少产品运输成本，并确保产品能够快速到达目标市场；资源分配：在人力资源管理和项目管理中，最小化运输问题可用于确定最佳的人员分配和资源调配方案，以确保项目在时间和成本方面的有效执行；网络流量优化：在计算机网络中，最小化运输问题可以用于优化数据包的传输路径，以最大程度地减少网络拥塞和延迟等。有许多最大化的问题也可以通过适当的转化转换为最小化运输问题，例如，在最大化利润的问题中，可以通过将成本取负值，并将问题转化为最小化成本的运输问题来求解。

一、最小化运输问题

最小化运输问题(transportation problem) 属于线性规划问题，可以根据模型按照线性规划的方式求解，但由于其特殊性，用常规的线性规划来求解并不是最有效的方法，它是运输问题的标准型，后面简称为运输问题。

1.1运输问题的数学模型

一般地，产销平衡的运输问题可以表述为：设有\(m\)个地点（称为产地或发地）\(A_1\),\(A_2\),...,\(A_m\)的某种物资调至\(n\)个地点（称为销地或收地）\(B_1\),\(B_2\),...,\(B_n\)，各个产地需要调出的物资量分别为\(a_i\)单位，各个销地需要调进的物资量分别为\(b_j\) 单位，且各个发点的供应量之和等于各个收点的需求量之和。已知每个发点\(A_i\) 到每个收点\(B_j\) 调运单位物资的价格为\(c_{ij}\)，现问如何安排调运，才能使总运费最小。
于是得产销平衡运输问题的数学模型：

\(min\) \(z\) = \(\sum_{i=1}^m\)\(\sum_{j=1}^n\)\(c_{ij}\)\(x_{ij}\)
\(\sum_{j=1}^n\)\(x_{ij}\)=\(a_i\) \(i=1,2,...,m\)
\(\sum_{i=1}^m\)\(x_{ij}\)=\(b_j\) \(j=1,2,...,n\)
\(x_{ij} \geq 0\)   \(i,j=1,2,...,n\)
不平衡运输问题只要简单地调整约束的松紧关系即得。

1.2 Python计算程序

例1： 有三个造纸厂A1、A2 和A3，造纸量分别为16 个单位、10 个单位和22 个单位，四个客户B1、B2、B3 和B4 的需求量分别为8 个单位、14 个单位、12 个单位和14 个单位。造纸厂到客户之间的单位运价如表所示，确定总运费最少的调运方案。单位运价表如下所示：

 [[ 4 12  4 11]
 [ 2 10  3  9]
 [ 8  5 11  6]]

总产量等于总销量，都为48个单位，这是一个产销平衡的运输问题。

Python代码及运行结果如下:

import pulp
import numpy as np
from pprint import pprint

def transportation_problem(costs, x_max, y_max):

    row = len(costs)
    col = len(costs[0])
    prob = pulp.LpProblem('Transportation Problem', sense=pulp.LpMinimize)
    var = [[pulp.LpVariable(f'x{i}{j}', lowBound=0, cat=pulp.LpInteger) for j in range(col)] for i in range(row)]
    flatten = lambda x: [y for l in x for y in flatten(l)] if type(x) is list else [x]
    prob += pulp.lpDot(flatten(var), costs.flatten())
    for i in range(row):
        prob += (pulp.lpSum(var[i]) == x_max[i])
    for j in range(col):
        prob += (pulp.lpSum([var[i][j] for i in range(row)]) == y_max[j])

    prob.solve()
    return {'objective':pulp.value(prob.objective), 'var': [[pulp.value(var[i][j]) for j in range(col)] for i in range(row)]}

if __name__ == '__main__':
    costs = np.array([[4, 12, 4, 11],
                      [2, 10, 3, 9],
                      [8, 5, 11, 6]])
    max_plant = [16, 10, 22]
    max_cultivation = [8, 14, 12, 14]
    res = transportation_problem(costs, max_plant, max_cultivation)

    print(f'最小值为{res["objective"]}')
    print('各变量的取值为：')
    pprint(res['var'])

二、最大化运输问题

随着所给已知条件的不同，比如在运输中考虑的是单位利润，就得到最大化运输问题。这里借一个实例进行描述，一般情况可平行推广。

2.1 最大化运输问题

运输问题是一个经典的线性规划问题，涉及到如何在满足一定约束条件的情况下，最小化或最大化某种运输成本或收益。产销平衡的运输问题可以表述为：设有\(m\)个地点（称为产地或发地）\(A_1\),\(A_2\),...,\(A_m\)的某种物资调至\(n\)个地点（称为销地或收地）\(B_1\),\(B_2\),...,\(B_n\)，各个产地需要调出的物资量分别为\(a_i\)单位，各个销地需要调进的物资量分别为\(b_j\) 单位，且各个发点的供应量之和等于各个收点的需求量之和。已知每个发点\(A_i\) 到每个收点\(B_j\) 调运单位物资的利润为\(r_{ij}\)，见下表，现问如何安排调运，才能使总利润最大。

产地 销地 \(B_1\) \(B_2\) ... \(B_n\) 供应量
\(A_1\) \(r_{11}\) \(r_{12}\) ... \(r_{1n}\) \(a_1\)
\(A_2\) \(r_{21}\) \(r_{22}\) ... \(r_{2n}\) \(a_2\)
... ... ... ... ... ...
\(A_m\) \(r_{m1}\) \(r_{m2}\) ... \(r_{mn}\) \(a_m\)
需求量 \(b_1\) \(b_2\) ... \(b_n\) \(\sum_{j=1}^{n}{b_j}=\sum_{i=1}^{m}{a_i}\)

设\(x_{ij}\)表示从从第\(i\)个产地到第\(j\)个销地的货物运输量。于是得产销平衡最大化运输问题的数学模型：
\(max\) \(z\) = \(\sum_{i=1}^m\)\(\sum_{j=1}^n\)\(r_{ij}\)\(x_{ij}\)
\(\sum_{j=1}^n\)\(x_{ij}\)=\(a_i\) \(i=1,2,...,m\)
\(\sum_{i=1}^m\)\(x_{ij}\)=\(b_j\) \(j=1,2,...,n\)
\(x_{ij} \geq 0\)   \(i,j=1,2,...,n\)
不平衡运输问题只要简单地调整约束的松紧关系即得。

例2： 某三个煤炭厂供应3个地区，假定等量的煤炭在这些地区使用效果相同，已知各煤炭厂年产量，各地区的需要量及从各煤炭厂到各地区的单位利润如下表所示，试决定最优的调运方案。

表1 \(B_1\)​ \(B_2\)​ \(B_3\)​ 产量
\(A_1\) 2 5 8 9
\(A_2\)​ 9 10 7 10
\(A_3\)​ 6 5 4 12
销量 8 14 9

若产地（煤炭厂）\(A_i(i = 1,2,3 )\) 到销地（地区）\(B_j( j = 1,2,3 )\)的运量为\(x_{ij}\)，建立的数学模型如下形式：

\begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} r_{ij} x_{ij} \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} x_{ij} = a_i \ \ \ \ ( \ i = 1, 2,3, \cdots , m \ ) \\\\ \rm \sum_{i = 1}^{m} x_{ij} = b_j \ \ \ \ ( \ j = 1, 2,3, \cdots , n \ ) \\\\ \rm x_{ij} \geq 0 \ \ \ \ ( \ i = 1, 2,3, \cdots , m \ \ ; \ \ j = 1, 2,3, \cdots , n \ ) \end{cases}\end{array}

该模型就是最大化运输问题的数学模型，目标函数求最大。为不重复建立理论可将最大化运输问题转化为最小化的运输问题, 给目标函数所有的数都乘以-1，得表2

表2 \(B_1\)​ \(B_2\)​ \(B_3\)​ 产量
\(A_1\) -2 -5 -8 9
\(A_2\)​ -9 -10 -7 10
\(A_3\)​ -6 -5 -4 12
销量 8 14 9

在所有值都变为负数后, 为了方便计算, 给所有的值都加上一个正数, 计算的数值虽然不同, 但是最终的运输方案相同，最后重新代入原模型计算最优值即可。
如加上 14 , 表格变为:

表3 \(B_1\)​ \(B_2\)​ \(B_3\)​ 产量
\(A_1\) 12 9 6 9
\(A_2\)​ 5 4 7 10
\(A_3\)​ 8 9 10 12
销量 8 14 9

求解最小化运输问题得出最优解，然后代入原目标函数即可求出最大利润。

3.2 考研试题1

某超市在外地采购 A,B,C,D四种规格的服装，数量分别为：A——1300套，B——2000套，C——3000套，D——3500套。有三个城市供应上述规格的服装且质量、运价和销量情况不同, 预计售出后的利润也不同, 详见下表。请为该公司制定一个预期总利润最大的采购方案。

城市 服装 A 服装 B 服装 C 服装D 产量/套
I 10 5 6 7 2500
II 8 2 7 6 2500
III 9 3 4 8 5000
采购量/套 1500 2000 3000 3500 10000\10000

该运输问题的数学模型为

\[\max z=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n r_{i j} x_{i j}\\ \begin{aligned} & \sum_{j=1}^n x_{i j}=a_i \quad(i=1,2, \cdots, m) \\ & \sum_{i=1}^m x_{i j}=b_j \quad(j=1,2, \cdots, n) \\ & x_{i j} \geqslant 0\end{aligned} \]

由于是最大化运输问题，所以用一个常数(常选择单位利润中的最大数) 减去单位利润表本中的各数, 再运用表上作业法求出最优解，然后代入原目标函数就得最大值。利用上表中最大的数 10 减去表中的每个数, 得到下表：

城市 服装 A 服装 B 服装 C 服装D 产量/套
I 0 5 4 3 2500
II 2 8 3 4 2500
III 1 7 6 2 5000
采购量/套 1500 2000 3000 3500 10000\10000

最后可得最优解为

城市 服装 A 服装 B 服装 C 服装D 产量/套
I 2000 500 2500
II 2500 2500
III 1500 3500 5000
采购量/套 1500 2000 3000 3500 10000\10000

最大利润为

\[\begin{gathered} 1500 \times 9 \text { 元 }+2000 \times 5 \text { 元 }+500 \times 6 \text { 元 }+2500 \times 7 \text { 元 } \\ +3500 \times 8 \text { 元 } =72000 \text { 元 } \end{gathered} \]

3.3 考研试题2

某自行车制造公司设有两个装配厂, 且在四个地区有销售公司。两个装配厂的有关数据如表I所示，四个销售公司的需求量如表II所示，从两个装配厂到四个销售公司的运价表如表所示。各家销售公司需要的自行车应由哪个厂装配,才能保证公司获得最大利润?

\[\begin{array}{c|c|c} \hline 表I\quad 装配厂 & A & B \\ \hline 产量 / 辆 & 1100 & 1000 \\ \hline 装配费用 / (元 /辆 ) & 45 & 55 \\ \hline \end{array} \]

\[\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline 表II \quad 销售公司 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 需求量 / 辆 & 500 & 300 & 550 & 650 \\ \hline \end{array} \]

\[\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline 表III \quad 装配厂 \quad 销售公司 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 装配厂A & 9 & 4 & 7 & 18 \\ \hline 装配厂B & 2 & 17 & 15 & 8 \\ \hline \end{array} \]

解 本题是求公司的最大利润, 但题目没有告诉每辆自行车的售价, 可以把价格看作是确定的 (因为生产量是确定的)，求利润最大，其实就是求成本最小。此题有装配费用，但由于生产量是确定的，所以装配费用也是确定的。
本题两个装配广生产量为 2100 辆, 而四个销售公司的需求量为 2000 辆。为了达到产销平衡，虚拟一个销售公司 5，它的销售量为 100 辆。
装配厂到虚拟销售公司的运价为 0。产销平衡的单位运价表如下所示。

装配厂 销售公司1 销售公司2 销售公司3 销售公司4 销售公司5 生产量 / 辆
装配厂 A 9 4 7 18 0 1100
装配厂 B 2 17 15 8 0 1000
销售量 / 辆 500 300 550 650 100 2100 \2100

应用表上作业法求出最优解，见下表所示。

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline 装配厂\quad 销售公司 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 生产量/辆 \\ \hline 装配厂 A & 150 & 300 & 550 & & 100 & 1100 \\ \hline 装配厂 B & 350 & & & 650 & & 1000\\ \hline 销售量 / 辆 & 500 & 300 & 550 & 650 & 100 & \\ \hline \end{array} \]

注 本题也可以把装配费用加到运价表中，所得的最优解是相同的。这是因为在运输问题的单位运价表的某一行加上一个常数,最优解不变。

三、案例练习

3.1 练习1

某化学公司有甲、乙、丙、丁四个化工厂生产某种产品，产量分别为 \(200 、 300、400、100(\mathrm{t})\)，供应I、II、III、IV、V、VI六个地区的需要, 需要量分别为 \(200、150、400、100、150、150(t)\)。由于工艺、技术等条件差别，各厂每 \(\mathrm{kg}\) 产品成本分别为1.2、1.4、1.1、1.5(元)，又由于行情不同，各地区销售价分别为 \(2.0、2.4、1.8、2.2、1.6、2.0(\) 元 \(/ \mathrm{kg})\) 。已知从各厂运往各销售地区每 \(\mathrm{kg}\) 产品运价如下表所示。如第III个地区至少供应100t，第IV个地区的需要必须全部满足，试确定使该公司获利最大的产品调运方案。

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline 工厂\quad 地区 & I & II & III & IV & V & VI \\ \hline 甲 & 0.5 & 0.4 & 0.3 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \\ 乙 & 0.3 & 0.8 & 0.9 & 0.5 & 0.6 & 0.2 \\ 丙 & 0.7 & 0.7 & 0.3 & 0.7 & 0.4 & 0.4 \\ 丁 & 0.6 & 0.4 & 0.2 & 0.6 & 0.5 & 0.8 \\ \hline \end{array} \]

假设：\(x_{ij}\)为从工厂\(i\)运往地区\(j\) 的产品量（以千克为单位），\(c_{ij}\)为从工厂\(i\)运往地区\(j\) 每千克产品的运价，\(s_i\)为工厂\(i\) 生产的产品总量（以千克为单位）,\(d_j\) 为地区\(j\)的需求量（以千克为单位），\(p_i\)为工厂\(i\) 生产的每千克产品的成本，\(r_j\)为地区\(j\)销售的每千克产品的价格。数学模型如下：

\[max⁡\sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^6(r_j−p_i−c_{ij})x_{ij}\]

约束条件：

每个工厂的产品供应不能超过其产量：\(\sum_{j=1}^{6} x_{ij} \leq s_i\)，其中 \(i=1,2,3,4\);
每个地区的需求必须得到满足：\(\sum_{i=1}^{4} x_{ij} \geq d_j\)，其中 \(j=1,2,3,4,5,6\);
第III个地区至少供应100t：\(x_{i3}\geq 100\)，其中 \(i=1,2,3,4\);
第IV个地区的需求必须全部满足：\(\sum_{i=1}^{4} x_{i4} = d_4\)。

这样建立的数学模型可以通过线性规划方法求解，得到使公司获利最大的产品调运方案。

3.2 练习2

3.3 练习3

四、最小配置问题

某航运公司承担六个港口城市 \(A、B、C、D、E、F\) 的四条固定航线的物质运输任务。已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 表1 \quad 航线 & 起点城市 & 终点城市 & 每天航班数 \\ \hline 1 & E & D & 3 \\ 2 & B & C & 2 \\ 3 & A & F & 1 \\ 4 & D & B & 1 \\ \hline \end{array} \]

假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市间的航程天数见表2。

\[\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|c|} \hline 从 到 & A & B & C & D & E & F \\ \hline A & 0 & 1 & 2 & 14 & 7 & 7 \\ B & 1 & 0 & 3 & 13 & 8 & 8 \\ C & 2 & 3 & 0 & 15 & 5 & 5 \\ D & 14 & 13 & 15 & 0 & 17 & 20 \\ E & 7 & 8 & 5 & 17 & 0 & 3 \\ F & 7 & 8 & 5 & 20 & 3 & 0 \\ \hline \end{array} \]

又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多少条船, 才能满足所有航线的运货需求?

解 该公司所需配备船只分两部分。(1) 载货航程需要的周转船只数。例如航线1，在港口E装货 1 天, \(\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{D}\) 航程17天，在D卸货1天，总计19天。每天3航班，故该航线周转船只需57条。各条航线周转所需船只数见表2。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 表2 \quad 航线 & 装货天数 & 航程天数 & 卸货天数 & 小计 & 航班数 & 需周转船只数 \\ \hline 1 & 1 & 17 & 1 & 19 & 3 & 57 \\ \hline 2 & 1 & 3 & 1 & 5 & 2 & 10 \\ \hline 3 & 1 & 7 & 1 & 9 & 1 & 9 \\ \hline 4 & 1 & 13 & 1 & 15 & 1 & 15 \\ \hline \end{array} \]

(2)各港口间调度所需船只数。有些港口每天到达船只数多于需要船数，例如港口D，每天到达3条，需求1条; 而有港口到达数少于需求数, 例如港口B。各港口每天余缺船只数的计算见表3。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 表4 \quad 港口城市 & 每天到达 & 每天需求 & 余缺数 \\ \hline A & 0 & 1 & -1 \\ B & 1 & 2 & -1 \\ C & 2 & 0 & 2 \\ D & 3 & 1 & 2 \\ E & 0 & 3 & -3 \\ F & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \]

为使配备船只数最少, 应做到周转的空船数为最少。因此建立以下运输问题, 其产销平衡表见表4。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 港 口 & A & B & E & 每天多余船只 \\ \hline C & & & & 2 \\ D & & & & 2 \\ F & & & & 1 \\ \hline 每天缺少船只 & 1 & 1 & 3 & \\ \hline \end{array} \]

单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数，见表5。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 港口 & A & B & E \\ \hline C & 2 & 3 & 5 \\ D & 14 & 13 & 17 \\ F & 7 & 8 & 3 \\ \hline \end{array} \]

用表上作业法求出空船的最优调度方案见表6。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 港 口 & A & B & E & 每天多余船只 \\ \hline C & 1 & & 1 & 2 \\ D & & 1 & 1 & 2 \\ F & & & 1 & 1 \\ \hline 每天缺少船只 & 1 & 1 & 3 & 5 \\ \hline \end{array} \]

由表6知最少需周转的空船数为

\[2 \times 1+13 \times 1+5 \times 1+17 \times 1+3 \times 1=40 \text { 条。 } \]

这样在不考虑维修、储备等情况下, 该公司至少应配备 \(40+91=131\) 条船。

四、总结

最小化运输问题还可以在物流管理、城市规划、资源优化等方面找到广泛的应用。通过有效地解决这一问题，组织和企业可以实现运营成本的降低、资源利用的最大化，从而提高竞争力和效率。

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 表II\quad 产地 & \mathrm{B}_1 & \mathrm{~B}_2 & \mathrm{~B}_3 & \mathrm{~B}_4 & \text { 产量 } \\ \hline \mathrm{A}_1 & 5 & 3 & 10 & 4 & 90 \\ \hline \mathrm{A}_2 & 2 & 6 & 9 & 6 & 40 \\ \hline \mathrm{A}_3 & 14 & 10 & 5 & 7 & 70 \\ \hline \text { 销量 } & 30 & 50 & 100 & 40 & \\ \hline \end{array} \]

参考文献

1. 运输规划求最大值问题示例
2.运输问题之最小配置问题
3.Python数学建模PuLP库线性规划入门示例详解

标签：最大化,运输,求解,Python,sum,ij,hline,...,array
From： https://www.cnblogs.com/haohai9309/p/18081280

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