MIMO信道容量-01
确定性MIMO信道容量
对于\(N_{Tx}\)根发射天线和\(N_{Rx}\)根接收天线的MIMO系统，时不变窄带无线信道可表示为 \(N_{Rx}\times N_{Tx}\)的确定性矩阵，对于由\(N_{Tx}\)个独立符号\(x_1,x_2,\cdots,x_{N_{Tx}}\)构成的发射符号向量\(\mathbf{x}\in\mathbb{C}^{N_{Tx}\times 1}\),接收信号\(\mathbf{y}\in\mathbb{C}^{N_{Rx}\times1}\)可表示为
\[\mathbf{y} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{Hx}+\mathbf{z} \tag{1} \]其中\(\mathbf{z}\in\mathbb{C}^{N_{Rx}\times 1}\)为噪声向量，假设其服从零均值循环对称复高斯(ZMCSCG)分布。确定性信道的容量被定义为
\[C=\underset{f(\mathbf{x})}{max}I(\mathbf{x;y})\text{ bit/channel use} \tag{2} \]其中\(f(\mathbf{x})\)是发射信号向量的PDF，通过改变发射信号向量的PDF就可以得到最大的互信息即信道容量。两个随机向量的互信息由微分熵和条件微分熵给出，同时根据噪声与发射信号的独立性，可得
\[\begin{aligned} I(\mathbf{x,y})&=H(\mathbf{y})-H(\mathbf{y|x})\\ &=H(\mathbf{y})-H(\mathbf{z}) \end{aligned} \tag{3} \]假设噪声服从已知分布，即其微分熵\(H(\mathbf{z})\)为一常数，则\(H(\mathbf{y})\)达到最大时实现互信息最大化。考虑\(\mathbf{y}\)的自相关矩阵
\[\begin{aligned} \mathbf{R}_{yy}&=E\{\mathbf{yy}^H\}=E\left\{\left(\sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{Hx+z}\right)\left(\sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{x}^H\mathbf{H}^H+\mathbf{z}^H\right)\right\}\\ &=E\left\{\left(\frac{E_x}{N_{Tx}}\mathbf{Hx}\mathbf{x}^H\mathbf{H}^H+\mathbf{zz}^H\right)\right\}\\ &=\frac{E_x}{N_{Tx}}\mathbf{H}E\{\mathbf{XX}^H\}\mathbf{H}^H+E\{\mathbf{zz}^H\}\\ &=\frac{E_x}{N_{Tx}}\mathbf{H}\mathbf{R}_{xx}\mathbf{H}^H+N_0\mathbf{I}_{N_{Rx}} \end{aligned} \tag{4} \]其中，\(E_x\)为发射信号能量，\(N_0\)为加性噪声功率。当给定\(\mathbf{y}\)的自相关矩阵后,由于相同方差的情况下高斯分布的微分熵最大，该向量每个符号服从复高斯分布且实部与虚部均值为0时，即当\(\mathbf{y}\)服从ZMCSCG分布时其微分熵最大，从而可知\(\mathbf{x}\)同样服从ZMCSCG分布，从而\(\mathbf{y}\)和\(\mathbf{z}\)的互信息分别为
\[H(\mathbf{y}) = log_2\left\{det(\pi e\mathbf{R}_{yy})\right\}\\ H(\mathbf{z}) = log_2\left\{det(\pi eN_0\mathbf{I}_{N_{Rx}})\right\} \tag{5} \]从而得到确定性MIMO信道的容量
\[C=\underset{Tr(\mathbf{R}_{xx})=N_{Tx}}{max}log_2\text{det}\left(\mathbf{I_{N_{Rx}}}+\frac{E_x}{N_{Tx}N_0}\mathbf{HR}_{xx}\mathbf{H}^H\right) \tag{6} \]在发射端已知CSI时，发射端用\(\mathbf{V}\)预处理发射信号，接收机处用\(\mathbf{U}^H\)处理接收到的信号，接收机接收到的信号可被表示为
\[\tilde{\mathbf{y}} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\mathbf{U}^H\mathbf{H}\mathbf{V}\mathbf{x}+\mathbf{U}^H\mathbf{z} \tag{7} \]对信道矩阵进行SVD分解，有\(\mathbf{H}=\mathbf{U\Sigma V}^H\),从而接收信号可重新表示为
\[\tilde{\mathbf{y}} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}} \mathbf{\Sigma}\mathbf{x}+\mathbf{U}^H\mathbf{z} \tag{8} \]从而等价为r个虚拟的SISO信道
\[\tilde{\mathbf{y}_i} = \sqrt{\frac{E_x}{N_{Tx}}}\sqrt{\lambda_i}\mathbf{x}_i+(\mathbf{U}^H\mathbf{z})_i,i=1,2,\cdots,r \tag{9} \]如果第i根天线发射功率为 \(\gamma_i=E\{|x_i|^2\}\),MIMO信道容量是所有虚拟SISO信道容量之和，即有
\[C=\sum_{i=1}^rC_i(\gamma_i)=\sum_{i=1}^{r}log_2\left(1+\frac{E_x\gamma_i}{N_{Tx}N_0}\lambda_i\right) \tag{10} \]可采用注水算法分配功率实现通信容量最大化，该算法的核心思想是给更高SNR的子信道分配更多的功率。
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