P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

P4690 [Ynoi2016] 镜中的昆虫

本质就是 区间修改，区间数颜色

弱化一下，先考虑不带修的情况，也就是 P1972 [SDOI2009] HH的项链

其难点在于 区间颜色的去重，需要想一个办法 让区间内一个颜色只被数一次

我们可以去维护一个 \(Nxt\) 数组，表示 下一个与当前位置颜色相同的位置

若 当前位置 \(i\) 是该颜色出现的 最后一个位置，序列长为 \(N\)，则 \(Nxt_i = N + 1\)

容易发现 区间 \([L, R]\) 中 每种颜色 的最后一个位置 \(P_i\) 将满足 \(Pos_{P_i} > R\)

这样每种颜色 恰好对应一个位置，不重不漏

于是我们可以考虑 计数上面这个东西，也就是在 区间中 \(Nxt\) 值大于 \(R\) 的位置个数

转化到平面上 进行 二维数点 即可

然后考虑 单点修改，注意到其实 颜色本身 已经没啥用了

我们关心修改之后对应的 \(Nxt\) 数组的变化

令人高兴的是，单点修改 只会对 修改点 以及 与 修改前 / 后 同色的 前驱点 的 \(Nxt\) 值造成影响

就是 每次 \(Nxt\) 数组只有 \(O(1)\) 的修改，所以 暴力修改，询问时 在线二维数点 即可

回到这道题的 区间修改，感觉就很难做

如果 单点修改 \(O(1)\)，区间 \(O(N)\)，那这玩意儿 复杂度就炸了，火大

但显然并 没有什么很好的方法可以批量快速修改，于是仔细思考性质

发现区间 \([L, R]\) 修改后，\([L, R - 1]\) 的 \(Nxt\) 都将指向 其对应的下一个位置

就是 \(\forall i \in [L, R - 1], Nxt_i = i + 1\)

而且无论修改成什么颜色这个性质都将存在

换言之，如果我将 \([L, R]\) 的颜色先修改成 \(C_1\)，再修改成 \(C_2\)

中间 \([L, R - 1]\) 的 \(Nxt\) 值都 不会改变，于是我们可以考虑 摊还分析

设若初始时 \(\forall i \in [1, N]，Nxt_i = i + 1\)

那么我们每次修改时，至多有 \(R\)，与 \(L\) 修改前后同色 的 三个点 的 \(Nxt\) 会被改变

于是我们总的修改就不是 \(O(NM)\) 而是 \(O(N + M)\) 的了

从 \(Nxt_i = i + 1\) 的状态变成 输入状态 相当于 修改了 \(O(N)\) 次

于是我们就可以 直接做 \(—— \textsf{z}\color{red}\textsf{hicheng}\)

但是这里 与 \(L\) 修改前后同色的前驱点 还得考虑一下

在我们可以像 单点修改 时 那样记录每个点 前驱和后缀 来找，但是这就意味着 修改常数巨大

所以我们可以 引入一些 \(ODT\) 来维护 每种颜色的区间，同时再用一棵 \(ODT\) 维护整个序列

\(ODT\) 又称 珂朵莉树 \((Chtholly-Tree)\)，多用在 维护区间颜色相关的问题

本质上就是一个 std::set，它将 每个相同颜色的段 缩成一个点 用 \(L, R\) 描述

同时可以有一些 附加权值或信息，其 核心操作 是 Split

即 将一个节点（区间） \([L, R]\) 分成 \([L, x - 1],[x, R]\) 两个节点，并返回 后一个节点的指针

一般情况下，我们会 暴力的对树上的区间操作，其复杂度在 随机数据下 为 \(O(N \log\log N)\)

但是也 容易被卡，但是本题中其 均摊复杂度是正确的，不必担心

入门题 CF915E Physical Education Lessons

现在我们将 不用改的部分 忽略后 每次暴力单点修改 就行了

继续 在线二维数点，树套树...

不对，注意到（在某次更新之后）这道题的空间限制只有 \(64 ~ MB\)

而 二维树套树 的空间复杂度是 严格 \(O(N \log N)\) 的，过不了一点

但是咱又不想写 \(CDQ\)...

于是，我们直接对 序列分块维护，注意到 修改 \(M\) 次，原序列 \(N\) 个数

一共仅有 \(N + M\) 个 可能权值，于是我们可以对 所有权值离散化 一下

然后对于 序列上每个块，内部使用 值域分块 维护

\(O(\sqrt {N})\) 修改（个数 \(+1\)），\(O(1)\) 查询 后缀和（也就是 大于某个数的个数）

虽然分块这玩意儿吧，空间理论上是 \(O(N \sqrt N)\) 的，比 树套树还大

但是这只是理论，我们可以通过 调整块长 获得 更小的空间，然后卡过去

用 时间换空间，赢！

在时间上，分块 \(O(N \sqrt N)\) 的复杂度在 \(10 ^ 5\) 的数据下不比其余算法 \(O(N \log ^ 2 N)\) 的理论上劣

而且 常数较小，实际上 跑得飞快

#include <bits/stdc++.h>

const int MAXN = 200005;
const int MAXB = 505;
const int RELB = 80;

using namespace std;

int Nxt[MAXN];
int N, M, P, Cnt;

int Blk2[MAXN];

struct Block {
	int BL[MAXB], BR[MAXB];
	int *Blk = Blk2;
	int b;
	short SufA[MAXN], SufB[MAXB];
	
	inline void Init () {
		b = 400;
		for (int i = 1; i <= N + 1; ++ i) {
			Blk[i] = i / b + 1;
			if (Blk[i] != Blk[i - 1]) BL[i / b + 1] = i, BR[i / b] = i - 1;
		} BR[N / b + 1] = N + 1;
	}
	
	inline void Add (const int x) {
		for (int i = 1; i <= Blk[x]; ++ i) ++ SufB[i];
		for (int i = BL[Blk[x]]; i <= x; ++ i) ++ SufA[i];
	}
	
	inline void Del (const int x) {
		for (int i = 1; i <= Blk[x]; ++ i) -- SufB[i];
		for (int i = BL[Blk[x]]; i <= x; ++ i) -- SufA[i];
	}
	
	inline short GetSuf (const int x) {
		return SufB[Blk[x] + 1] + SufA[x];
	}
} B[RELB];

int Blk[MAXN], BL[RELB], BR[RELB];

namespace Chtholly_Tree {
	
	struct Node {
		int L, R, C;
		
		inline bool operator < (const Node &a) const {
			return L < a.L;
		} 
	};
	
	set <Node> S, T[MAXN];
	
	inline auto Split_1 (const int x) {
		if (x > N) return S.end ();
		auto it = -- S.upper_bound ({x, 0, 0});
		if (it -> L == x) return it;
		Node k1 = {it -> L, x - 1, it -> C}, k2 = {x, it -> R, it -> C};
		return S.erase (it), S.insert (k1), S.insert (k2).first;
	}
	
	inline auto Split_2 (const int x, const int c) {
		if (x > N) return T[c].end ();
		auto it = -- T[c].upper_bound ({x, 0, 0});
		if (it -> L == x) return it;
		Node k1 = {it -> L, x - 1, it -> C}, k2 = {x, it -> R, it -> C};
		return T[c].erase (it), T[c].insert (k1), T[c].insert (k2).first;
	}
	
	inline void Change (const int x, const int v) {
		B[Blk[x]].Del (Nxt[x]), Nxt[x] = v, B[Blk[x]].Add (Nxt[x]);
	}
	
	inline void Modify (const int L, const int R, const int x) {
		auto itr = Split_1 (R + 1), itl = Split_1 (L), it = itl; 
		Split_2 (L, itl -> C), Split_2 (R + 1, itr -> C);
		
		for (it = itl; it != itr; ++ it) {
			auto tmp = T[it -> C].lower_bound ({it -> L, 0, 0});
			T[it -> C].erase (tmp);
			tmp = T[it -> C].lower_bound ({it -> L, 0, 0}); auto itx = tmp;
			if (tmp == T[it -> C].end () && T[it -> C].size ()) -- tmp, Change (tmp -> R, N + 1);
			else if (tmp != T[it -> C].begin ()) -- tmp, Change (tmp -> R, itx -> L);

			Change (it -> L, it -> L + 1);
			if (it -> L == it -> R) continue ;
			Change (it -> R, it -> R + 1);
		}
		S.erase (itl, itr), S.insert ({L, R, x}), T[x].insert ({L, R, x});
		
		itl = T[x].lower_bound ({L, 0, 0});
		if (itl != T[x].begin ()) -- itl, Change (itl -> R, L);
		itr = T[x].upper_bound ({R, 0, 0});
		if (itr != T[x].end ()) Change (R, itr -> L);
		else Change (R, N + 1);
	}
	
}

using namespace Chtholly_Tree;

inline int Query (const int L, const int R) {
	int Ret = 0;
	if (Blk[L] == Blk[R]) {
		for (int i = L; i <= R; ++ i) if (Nxt[i] > R) ++ Ret;
	} else {
		for (int i = L; i <= BR[Blk[L]]; ++ i) if (Nxt[i] > R) ++ Ret;
		for (int i = Blk[L] + 1; i < Blk[R]; ++ i) Ret += B[i].GetSuf (R + 1);
		for (int i = BL[Blk[R]]; i <= R; ++ i) if (Nxt[i] > R) ++ Ret;
	}
	return Ret;
}

unordered_map <int, int> Mp;
int Num[MAXN], Val[MAXN], Pos[MAXN], Rnk;
short Opt[MAXN];
int L[MAXN], R[MAXN], x[MAXN];

int main () {
	
	cin >> N >> M, P = N / 78;
	
	for (int i = 1; i <= N; ++ i) cin >> Num[i];
	
	for (int i = 1; i <= M; ++ i) {
		cin >> Opt[i] >> L[i] >> R[i];
		if (Opt[i] == 1) cin >> x[i];
	}
	
	memcpy (Val, Num, sizeof Num), Cnt = N;
	for (int i = 1; i <= M; ++ i) Val[++ Cnt] = x[i];
	sort (Val + 1, Val + Cnt + 1);
	
	for (int i = 1; i <= N; ++ i) {
		Blk[i] = i / P + 1;
		if (Blk[i] != Blk[i - 1])
			BL[i / P + 1] = i, BR[i / P] = i - 1, B[i / P + 1].Init ();
	} BR[N / P + 1] = N;
	 
	for (int i = 1; i <= Cnt; ++ i) Mp[Val[i]] = i;
	
	for (int i = 1; i <= N; ++ i) T[Mp[Num[i]]].insert ({i, i, Mp[Num[i]]}), S.insert ({i, i, Mp[Num[i]]});
	
	for (int i = N; i >= 1; -- i) {
		if (Pos[Mp[Num[i]]]) Nxt[i] = Pos[Mp[Num[i]]], B[Blk[i]].Add (Nxt[i]);
		else Nxt[i] = N + 1, B[Blk[i]].Add (N + 1);
		Pos[Mp[Num[i]]] = i;
	}
	
	for (int i = 1; i <= M; ++ i) {
		if (Opt[i] == 1) Modify (L[i], R[i], Mp[x[i]]);
		if (Opt[i] == 2) cout << Query (L[i], R[i]) << '\n';
	}
	
	return 0;
}