CF1945E Binary Search

题目大意

给定一个 \(1\sim n\) 的排列 \(A\)（不保证有序），对这个排列用如下代码片段二分，查找 \(m\) 的位置。

int l=1,r=n+1;
while(r-l>1)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if(A[mid]<=m)	l=mid;
    else	r=mid;
}
cout<<l;

显然不一定能查找到正确位置，所以在开始查找之前，可以进行至多 \(2\) 次操作，每次操作可交换任意两个数的位置，可以保证 \(2\) 次操作一定能使答案正确。

Solve

由于体面说 \(2\) 次操作一定能使答案正确，我们不妨大胆地猜测一下：

先对原数列使用上面的代码，进行二分，将二分出来的位置（记为 \(x\)）与 \(m\) 的位置交换即可。

然后就发现 AC 了。

考虑证明一下正确性：

显然我们最后二分出的 \(p_x\) 一定是 小于等于 \(m\) 的。然后考虑分情况讨论：

• 如果二分过程中 \(\forall mid,A_{mid}\neq m\)，那么这样交换肯定是没问题的，因为交换之后不会对 A[mid]<=m 这句话有影响。
• 如果 \(\exist mid,A_{mid}=m\)，那么交换之后 \(A_{mid}\) 就等于 \(p_x\) 了，此时 A[mid]<=m 仍然为真，不影响二分端点的变化。

得证。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(1,2,3,"Ofast","inline")
using namespace std;
#define int long long
inline int read()
{
	short f=1;
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	{if(c=='-')	f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')	x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x*f;
}
int t,n,m,a[200010],pos;
signed main()
{
	t=read();
	for(int i=1;i<=t;i=-~i)
	{
		n=read();m=read();
		for(int j=1;j<=n;j=-~j)
		{
			a[j]=read();
			if(a[j]==m)	pos=j;
		}
		int l=1,r=-~n;
		while(r-l>1)
		{
			int mid=l+r>>1;
			if(a[mid]<=m)	l=mid;
			else	r=mid;
		}
		printf("1\n%lld %lld\n",l,pos);
	}
	return 0;
}