电气材料结构与性能（二）

本篇为西安交通大学本科课程《电气材料基础》的笔记。

本篇为这一单元的第二篇笔记，上一篇传送门。

电气材料的导电性

能带的形成

能级的分裂

根据量子力学，原子的能级是量子化的，能带的形成从能级的分裂而来。下面以氢分子H₂的形成来说明这一过程。

当两个氢原子相靠近而形成分子时，其中一个原子上的电子会和另一个原子上的电子和原子核发生相互作用，让系统获得了新的能量以及波函数。根据泡利不相容原理和能量最低原理，形成分子后电子的能量应该低于两倍的单个原子的电子的能量。同时因为他们之间的相互作用，两原子的波函数 ψ 1 s \psi_1s ψ1​s将产生同向交迭和异向交迭，分别形成新的波函数 ψ σ \psi_\sigma ψσ​和 ψ σ ∗ \psi_{\sigma^*} ψσ∗​，他们分别具有不同的能量与量子数，形成了两个分子轨道。两个波函数的表达式为如下：
ψ σ = ψ 1 s ( r A ) + ψ 1 s ( r B ) ψ σ ∗ = ψ 1 s ( r A ) − ψ 1 s ( r B ) \psi_\sigma=\psi_1s(r_A)+\psi_1s(r_B)\\ \psi_{\sigma^*}=\psi_1s(r_A)-\psi_1s(r_B) ψσ​=ψ1​s(rA​)+ψ1​s(rB​)ψσ∗​=ψ1​s(rA​)−ψ1​s(rB​)
其中， ψ σ \psi_\sigma ψσ​被称为成键分子轨道，在两原子和中有一定量值； ψ σ ∗ \psi_{\sigma^*} ψσ∗​被称为反键分子轨道，在两原子核间有一节点。根据能量最低原理，反键分子轨道闭成键分子轨道的能量更高。这就是能级分裂的过程。

电子共有化运动

能带理论就是研究电子在周期性势场中的运动规律。

当两个原子相距较远的时候，电子只是在各自的原子内部运动，原子之间被一个高且宽的势垒相阻隔。当两个原子距离很近的时候，原子势场相互作用，势垒的宽度减小，高度降低，原来较高能级上的电子就可以穿越两个原子之间的势垒，到另一个原子的空间内，电子的共有化就这样形成了。

如果有N个原子相互靠近，那么他们之间均会发生相互作用，较高的一个能级上的所有电子都会做共有化运动，而每一个原子会受到周围原子势场的作用，产生附加能量，使得这个能级分裂成N个靠得很近的能级，形成了一个能带。

由一个能级分裂成的很多个能带被称为允带，也就是允许电子存在的能带，允带之间不存在能级的区域被称为禁带。

下图所示的就是允带和禁带。

导体、绝缘体和半导体的能带轮

所有能级全部被电子填充的能带叫做满带，只有部分能级被电子填充的能带被称为不满带。外电场下只有不满带能够导电，所以也被成为导带。

1. 导体材料：能带中除满带外还有导带，导带以下的第一个满带被称为价带，电阻率很低，通常为 1 0 − 8 ∼ 1 0 − 6 Ω ⋅ m 10^{-8}\sim10^{-6}\Omega\cdot m 10−8∼10−6Ω⋅m。
2. 绝缘材料：最低能量的一系列能带均被填满，而其之上的能带为空代，而且禁带较宽，通常大于3eV，所以电子不易在外电场下定向迁移，电阻率很高，通常为 1 0 8 ∼ 1 0 16 Ω ⋅ m 10^8\sim10^{16}\Omega\cdot m 108∼1016Ω⋅m。
3. 半导体材料：能带结构类似于绝缘材料，但是禁带很窄，通常小于2eV，电阻率较低，通常为 1 0 − 6 ∼ 1 0 8 Ω ⋅ m 10^{-6}\sim10^{8}\Omega\cdot m 10−6∼108Ω⋅m。

缺陷能级

结构缺陷：点缺陷、线缺陷和面缺陷。外来杂质缺陷包括替位和填隙，一般属于点缺陷。

当晶体中存在缺陷时，将在禁带中引入附加能级，成为缺陷能级。可分为浅能级和深能级。

1. 浅能级指的是离导带比较近即电离能比较小的能级，易于释放电子（空穴）到导带（价带），成为导电载流子。
2. 深能级指的是离导带比较远即电离能比较大的能级，不易于放出电荷，成为吸收电子（空穴）的中心，成为俘获能级或俘获中心。

半导体中的杂质可分为施主杂质和受主杂质。n型半导体中，施主杂质提供有电子的能级，依靠电子导电；p型半导体中，受主杂质提供禁带中空的能级，依靠空穴导电。

电气材料的导热性

热的传递可以通过三种方式：传导、对流和辐射。

金属中的热传导主要由导带自由电子或者说是电子气的运动来完成，称为电子热导；非金属中的热传导主要是由于晶格振动的作用，称为声子热导。

热传导的一维声子模型

晶格具有周期性，晶格振动具有波的形式，称为格波。单原子链可看为最简单的一维晶格结构，设平衡位置时原子间的距离为 a a a，每个原子质量为 m m m，原子只能在一维方向上移动，原子偏离原来格点的位移设为 . . . μ n − 1 , μ n , μ n + 1 . . . ...\mu_{n-1},\mu_{n},\mu_{n+1}... ...μn−1​,μn​,μn+1​...。原子运动近似为简谐运动，假设只有相邻原子间有相互作用，相互作用的势能可以表示为：
V ( a + δ ) = V ( a ) + 1 2 β δ 2 V(a+\delta)=V(a)+\frac{1}{2}\beta\delta^2 V(a+δ)=V(a)+21​βδ2
这和动能定理很像，其中， β \beta β为弹性常数， δ \delta δ为表示相对平衡位置的偏移距离。那么相邻原子间的作用力可以表示为：
F = − d V d δ ≈ − β δ F=-\frac{dV}{d\delta}\approx-\beta\delta F=−dδdV​≈−βδ
说明相邻原子间的弹性恢复力正比于相对位移。这和胡克定律很像。

原子n与原子n-1的相对位移 δ = μ n − μ n − 1 \delta=\mu_n-\mu_{n-1} δ=μn​−μn−1​，恢复力为 F = − β ( μ n − μ n − 1 ) F=-\beta(\mu_n-\mu_{n-1}) F=−β(μn​−μn−1​)；同理原子n与原子n+1的相对位移 δ = μ n + 1 − μ n \delta=\mu_{n+1}-\mu_{n} δ=μn+1​−μn​，恢复力为 F = − β ( μ n + 1 − μ n ) F=-\beta(\mu_{n+1}-\mu_{n}) F=−β(μn+1​−μn​)。而且两个作用力方向是相反的，可以得到原子n的运动方程：
M μ ¨ = β ( μ n + 1 − μ n ) − β ( μ n − μ n − 1 ) = β ( μ n + 1 + μ n − 1 − 2 μ n ) M\ddot{\mu}=\beta(\mu_{n+1}-\mu_{n})-\beta(\mu_n-\mu_{n-1})=\beta(\mu_{n+1}+\mu_{n-1}-2\mu_{n}) Mμ¨​=β(μn+1​−μn​)−β(μn​−μn−1​)=β(μn+1​+μn−1​−2μn​)
每个原子均可以写出一个这样的方程，有N个原子就可以写出N个这样的方程。
上述微分方程具有的格波形式的解为：
μ n q = A e i ( ω t − n a q ) \mu_nq=Ae^{i(\omega t-naq)} μn​q=Aei(ωt−naq)
其中， ω \omega ω为频率， A A A为幅值， q q q为波数。可以解出频率的值为：
ω 2 = 2 β m [ 1 − cos ⁡ ( a q ) ] = 4 β m sin ⁡ 2 ( 1 2 a q ) \omega^2=\frac{2\beta}{m} [1-\cos(aq)]=\frac{4\beta}{m} \sin^2(\frac{1}{2} aq) ω2=m2β​[1−cos(aq)]=m4β​sin2(21​aq)
把包含 ω \omega ω和 q q q的关系称为色散关系。

这种简写振动的能量量子称为声子，能量计算和光子一样，为 h ω h\omega hω。声子的定向运动意味着热量的传导。

热导率

热导率是材料导热能力强弱的度量。定义：在材料内部垂直于导热方向上取两个相距1米，面积为1平方米的平行平面，若两个平面的温度相差1K，则在1秒钟内从一个平面传导至另一个平面的热量就称为材料的热导率，单位为 W ⋅ m − 1 ⋅ K − 1 \text{W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} W⋅m−1⋅K−1。

不考虑热损失，对于一个边平行的块型材料，有：
E t = K A ( T 1 − T 2 ) l \frac{E}{t}=\frac{\mathcal{K}A(T_1-T_2)}{l} tE​=lKA(T1​−T2​)​
其中， K \mathcal{K} K是热导率， E E E是 t t t时间内传递的热量， A A A是截面积， l l l是长度， T 1 T_1 T1​和 T 2 T_2 T2​是两个截面的温度。当时间 t t t趋近于0时，则成为了导数：
d E d t = K A d T l \frac{dE}{dt}=\frac{\mathcal{K}AdT}{l} dtdE​=lKAdT​

金属热导率

加热金属杆的一端，那么热量会从热的一端流向冷的另一端。通过厚度为 δ x \delta x δx的截面的热流速率 Q ′ = d Q d t Q'=\frac{dQ}{dt} Q′=dtdQ​，可以表示为：
Q ′ = − A K δ T δ x Q'=-A\mathcal{K}\frac{\delta T}{\delta x} Q′=−AKδxδT​

负号说明热量传向温度降低的方向。

而欧姆定律也可以写成很像上述式子的形式：
I = − A σ δ V δ x I=-A\sigma\frac{\delta V}{\delta x} I=−AσδxδV​
根据上述两个关系，可以看出电导率和导热率有一定的关系，这个关系就是威德曼-弗朗兹-洛伦兹定理：
K σ T = C W F L \frac{\mathcal{K}}{\sigma T}=C_{WFL} σTK​=CWFL​
其中， C W F L C_{WFL} CWFL​为洛伦兹常数，大小为 π 2 k 2 3 e 2 = 2.44 × 1 0 − 8 W ⋅ Ω ⋅ K − 2 \frac{\pi^2k^2}{3e^2}=2.44\times 10^{-8} \text{W}\cdot\Omega\cdot\text{K}^{-2} 3e2π2k2​=2.44×10−8W⋅Ω⋅K−2。

纯金属的电导率反比于温度，可以推断出金属的热导率在室温及以上不随时间变化。同一个温度下，金属热导率和电导率成正比。

下图显示了各种金属在20°C下的热导率和电导率的关系：

下图显示了纯金属铜和铝，以及合金黄铜和Al-14%Mg热导率与温度的关系。

可见，纯金属的热导率早100K以上几乎不变，而在100K之下变化巨大，甚至上万，从公式中可得到电导率也非常大，这也是低温能出现超导的原因。

非金属电导率

非金属中能量转移主要依靠晶格的振动。热量传输的有效性既依赖于原子之间的耦合，也和晶体中振动波的传播方式，晶体缺陷的散射以及振动波的相互作用有关。一般强的键合会导致高的热导率。

热阻

热阻就像是电阻。对于一个长度 L L L、截面积 A A A的物体，两截面温度差为 Δ T \Delta T ΔT，根据傅里叶热传导定律，可得：
Q ′ = A K Δ T L = Δ T L A K Q'=A\mathcal{K}\frac{\Delta T}{L}=\frac{\Delta T}{\frac{L}{A\mathcal{K}}} Q′=AKLΔT​=AKL​ΔT​
定义热阻 θ \theta θ为：
θ = Δ T Q ′ \theta=\frac{\Delta T}{Q'} θ=Q′ΔT​
而热阻 θ \theta θ的决定式为：
θ = L A K \theta=\frac{L}{A\mathcal{K}} θ=AKL​

热容

材料每升高（降低）单位温度使从外界吸收（放出）的热量就是材料的热容 C C C，定义为：
C = lim ⁡ Δ T → 0 Δ Q Δ T C=\lim_{\Delta T \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta T} C=ΔT→0lim​ΔTΔQ​

热膨胀

材料因为温度的改变而发生的膨胀叫做热热膨胀，相同条件下，气体膨胀最大，液体膨胀次之，固体膨胀最小。

电气材料的热学性能

材料的力学性能主要指的是材料的宏观性能。

应力-应变曲线

应力 σ = F A 0 \sigma = \frac{F}{A_0} σ=A0​F​， A 0 A_0 A0​为初始截面积，应变 ϵ = l − l 0 l 0 \epsilon=\frac{l-l_0}{l_0} ϵ=l0​l−l0​​。 l 0 l_0 l0​为初始有效长度， l l l为外力为 F F F时的样品有效长度。

拉力实验的应力-应变曲线是表征材料力学性能的一种方式。

典型的低碳钢的应力-应变曲线如下图所示，可见初始为线性区，然后会到达屈服点，随后进入塑性区，这个区域内存在极限强度。

常见力学性能的表征

1. 弹性：材料在外力作用下保持和恢复固有形状和尺寸的能力。
2. 塑性：材料在外力作用下发生不可逆的永久变形但不破坏其完整性的能力。
3. 强度：材料在外力作用下抵抗永久变形和破坏的能力。