题意
对于一个长度为 \(n\) 的排列 \(P\)。
你需要求出所有满足条件的长度为 \(k\) 的数列 \(A\) 的个数。
- \(A\) 单调不减且 \(1 \le A_i \le n\)
- \(\min_{j = 1} ^ {A_1} P_j = \min_{j - 1} ^ {A_i} P_j\)
求出对于 \(P_1 = x\) 的所有排列的满足条件的 \(A\) 的个数。
Sol
设 \(m = \min_{i = 1} ^ {A_1} P_i\)。
不难发现 \(m\) 满足 \(m \le x\)，对于所有的 \(A_i\) 满足 \(A_i \ge m\)。
考虑 \(1, 2, \ldots, m - 1\) 的位置，这些必须 \(\ge A_k\)。
集中注意力，对于一个排列，需要满足一系列位置关系。
考虑将这些限制用 差分 表示出来。
具体地，考虑 \(d_1 = idx_m - idx_x\)（\(idx\) 表示下标）。
\(d_2 = idx_{A_1} - idx_m\)，\(d_3 = idx_{A_2} - idx_{A_1}\)。
\(\forall i, 3 \le i \le k + 1, d_i = idx_{A_{i - 1}} - idx_{A_{i - 2}}\)。
感觉这样的形式很优美，\(d\) 与 \(A\) 一一对应。
类似地，我们考虑使用 \(d_{k + 2} \to d_{k + m}\) 表示 \(1, 2, \ldots, m - 1\)。
不难发现，答案就是 \(d\) 的方案数。
考虑 \(d_i\) 需要满足哪些限制：\(\sum d_i \le n - 1, d_1, d_{k + 2}, \ldots d_{k + m} > 0\) 即可。
枚举 \(\sum d_i\) 太麻烦了！
直接把 \(n - \sum d_i\) 当成 \(d_{k + m + 1}\) 就行！
隔板法即可。
答案即为
\[\dbinom{n + k - 1}{i + k + 1} \times (i - 1)! \times (n - i - 1)! \]复杂度：\(O(n)\)。
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