ABC303 G 题解

标签：题解 sum 长度 len 贡献 ABC303 max 操作

区间 DP。

设 \(f_{l,r}\) 表示只考虑 \([l,r]\)，先手得分减后手得分的最大值（并不关心谁是先手谁是后手），区间长度 \(len=r-l+1\)。

然后对三种情况分别讨论：

• 使用操作一，此时取掉左/右端点的部分先手后手互换，对答案的贡献为 \(\max(a_l-f_{l+1,r},a_r-f_{l,r-1})\)。

• 使用操作二，继续分讨：

  • \(len\le B\)：直接全部取走，贡献为 \((\sum_{i=l}^{r}a_i)-A\)。
  • \(len>B\)：考虑将 \(B\) 的长度分配给前缀和后缀，贡献为 \(\max_{i=0}^{B}(\sum_{i=l}^{l+i-1}a_i)+(\sum_{i=r-(B-i)+1}^{r}a_i)-A-f_{l+i,r-(B-i)}\)。

• 操作三同理：

  • \(len\le D\)：直接全部取走，贡献为 \((\sum_{i=l}^{r}a_i)-C\)。
  • \(len>D\)：考虑将 \(D\) 的长度分配给前缀和后缀，贡献为 \(\max_{i=0}^{D}(\sum_{i=l}^{l+i-1}a_i)+(\sum_{i=r-(D-i)+1}^{r}a_i)-C-f_{l+i,r-(D-i)}\)。

然后对上述贡献取 \(\max\) 就是 \(f_{l,r}\) 的值。

用前缀和维护一下即可做到 \(O(n^3)\)。

Code

考虑优化。容易发现，此时操作一、操作二和操作三的第一种情况复杂度都是对的。只有操作二、操作三的第二种情况需要枚举长度，时间复杂度 \(O(n)\)。

考虑对 \(len\) 相同的区间同时处理：记 \(j=B-i\)（\(i\) 就是操作二转移方程里的，操作三同理），\(s(l,r)\) 表示 \([l,r]\) 的区间和。转化一下转移方程：

\[\max_{i=0}^{B}s(l,l+i-1)+s(r-j+1,r)-A-f_{l+i,r-j} \]

\[=\max_{i=0}^{B}s(l,r)-s(l+i,r-j)-A-f_{l+i,r-j} \]

这个时候我们发现 \(s(l,r)\) 和 \(A\) 是定值。提出来，就变成了：

\[s(l,r)-A-\min_{i=0}^{B}s(l+i,r-j)+f_{l+i,r-j} \]

现在考虑维护后面这坨东西。

容易发现，\([l+i,r-j]\) 这个区间的长度是不变的，都为 \(len-B\)。令 \(g_i=f_{i,i+len-B-1}+s(i,i+len-B-1)\)。此时发现方程就是

\[s(l,r)-A-\min_{i=l}^{l+B}g_i \]

然后直接用 ST 表维护 \(\min g_i\) 即可。对于不同的 \(len\) 直接重构即可。时间复杂度 \(O(n^2\log n)\)，可以通过此题。

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