标签：满足条件 max solution 合法 ge cf1188e 序列 操作

CF1188E Solution

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考虑 \(x_i\) 表示最后序列中每个数被操作的次数。显然我们可以假设 \(\min\{x_i\}=0\)。

仍然显然的是这样子的 \(x\) 序列与最后得到的序列一一对应，也就是说每个最终序列可以只能由一种 \(x\) 得到。

那么就变成计数合法的 \(x\) 序列了。考虑 \(x_i\) 需要满足什么条件？

由于我们有 \(>0\) 的条件，需要满足 \(a_i-s+x_in\ge0\)，\(s\) 是操作总数。即

\[x_i\ge\left\lceil\frac{max(0,s-a_i)}{n}\right\rceil(*) \]

当然还没完，这只是保证了 \(s\) 次操作之后非负，我们还要保证前 \(s-1\) 次操作非负。

考虑去掉最后一次操作，由于原条件 \((*)\) 满足，去掉这次操作也一定满足条件 \((*)\) 。我们只需要判断：

• 前 \(s-1\) 次操作是否合法。

• 是否存在 \(x\) 使得每个 \(x_i\) 满足条件 \((*)\) 。

第二点等价于 \(x_i\) 的和大于右边那个柿子的和，即

\[s\ge\sum_i\left\lceil\frac{max(0,s-a_i)}{n}\right\rceil(**) \]

这个柿子与 \(x_i\) 无关。那么我们容易发现，只要上式成立，满足条件 \((*)\) 且和为 \(s\) 的所有 \(x\) 序列都是合法的。

于是我们从小到大枚举 \(s\)，维护 \((**)\) 右半部分的值，直到它大于 \(s\)，后面的都不合法了。

剩下对 \(x\) 计数，等于求：

• 有一部分 \(x_i\) 要求大于等于某个值。

• \(\min\{x_i\}=0\)。

• \(\sum x_i=s\)。

的 \(x\) 序列个数。这个用容斥插板解决一下就好了！

最后复杂度 \(O(\max\{a\})\)。

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