Classification

分类

先介绍一种分类方式，这种分类方式是生成式（Generative）的。通过后验概率来进行分类（如：某一个物品在某一个类别的概率比较大，那么我们就认为这个物品属于这个类别）
不妨假设数据服从二维正态分布，考虑利用训练集确定二维正态分布所需要的参数，$\mu$和$\sum$分别是均值和协方差，二维正态分布密度函数的矩阵形式如下

参考：2维正态分布-矩阵表示-推导过程_二维正态分布矩阵形式-CSDN博客

那么怎么求解这两个参数呢？用最大似然估计（Maximum Likelihood）

如下图，两组参数都可以sample出这79个点，但是likelihood大小不同

最大似然估计如下，就是概率密度乘起来 取对数 求导

分类流程如下

经过验证 发现结果不太好

修正一下模型，两个类别用同一组协方差，因为协方差和input的feature size的平方成正比，所以增长可以非常快，导致参数较多，容易过拟合，求解最大似然发现均值不变，但是协方差变成加权平均

发现这样的话分类的boundary会变成直线，像这样的model可称为liner model

其中如果这些dimension都是独立的，可以使用朴素贝叶斯（Naive Bayes Classifier）

发现可以用贝叶斯继续推导sigmoid函数

 最后得下式，这也就解释了为什么上面让两个协方差相等时候，会得到liner model

那么怎么求这两个参数，我们引入逻辑回归

逻辑回归（Logistics Regression）

对比一下Logistics regression和liner regression

为什么Logistics regression不用square error。因为如果求出这个 loss 关于 w 的偏导数，如果和最优点距离特别近的时候，肯定偏导是比较小的，但是如果距离特别远的时候，偏导也是很小，这样不利于求解。

 logist regression的方法是discriminative，而前面贝叶斯计算的方法是generative，我们对比一下，同样的model，但是求解的参数却不一样，因为generative的方法有假设，比如假设了高斯分布或者伯努利分布等等

 文献上常常会说discriminative比generative的performance更好一些，但是当generative的training data少时，也是有时候可以赢过discriminative的。discriminative受data影响大，generative受data影响小（抗噪音干扰）。

逻辑回归的缺点，下图的boundary显然不能用直线划分

 那怎么办呢，我们可以找一个比较好的feature space

就像这样，变换之后可以分割开了，但是难点就在于找合适的feature transformation，怎么让机器自己找呢，让多个逻辑回归模型串联起来

这便得到了neuron，neural network，deep learning

以上是介绍二分类，如果是三类或者更多呢

Multi-class Classification

使用softmax方法，强化大的值，大的值和小的值之间的差距变大，softmax不再是确定某一个最大值，而是为每个输出分分类的结果都赋予一个概率值，表示属于每个类别的可能性

流程如下，下图有个错误，算cross entropy时候公式要加个负号

但是要这么计算交叉熵的话，target也应该是一个probability distribution，见下