动态规划（六）——树形dp

树形dp，又称树状dp，即在树上进行的dp，在设计动态规划算法时，一般就以节点从深到浅（子树从小到大）的顺序作为dp的“阶段”，dp的状态表示中，第一维通常是节点编号（代表以该节点为根的子树）。大多数时候，我们采用递归的方式实现树形动态规划。对于每个节点x，先递归在他的每个子节点上进行dp，在回溯时从子节点向节点x，进行状态转移。

例题：

没有上司的舞会（Acwing 285）

题目描述
Ural 大学有 N 个职员，编号为 1~N。他们有从属关系，也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树，
父结点就是子结点的直接上司。每个职员有一个快乐指数。现在有个周年庆宴会，要求与会职员的快乐
指数最大。但是，没有职员愿和直接上司一起与会。

输入格式
第一行一个整数 N。(1<=N<=6000) 接下来 N 行，第 i+1 行表示 i 号职员的快乐指数 Ri (-128<=Ri<=127) 
接下来 N-1 行，每行输入一对整数 L,K。表示 K 是 L 的直接上司。 最后一行输入 0,0。

输出格式
输出最大的快乐指数。

样例
样例输入
7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5
0 0
样例输出
5

思路：

所有点形成一个森林，设f[v][0]表示v为根的子树如果v 不参加舞会，能得到的最大快乐指数，f[v][1]表示v为根的子树如果v参加舞会，能得到的最大快乐指数。那么在计算f[v]的时候，可以先递归计算其所有孩子的f值，然后考虑f[v]，对于f[v][0]，由于v没参加，所以其子树树根可以参加也可以不参加，所以
f [v] [0]=∑ v → u max ⁡{f [u][0],f[u][1]} 
对于f[v][1]，由于v参加了，所以其所有子树树根都不能参加，所以
f [v][1]=∑ v → u f[u][0]
最后对于所有树根vi ，求一下∑ i max ⁡{f[vi][0],f [vi] [1]} 即为答案。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 10010
using namespace std;
vector<int> son[N];
int f[N][2],v[N],h[N],n;
void dp(int x){
	f[x][0]=0;
	f[x][1]=h[x];
	for(int i=0;i<son[x].size();i++){
		int y=son[x][i];
		dp(y);
		f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
		f[x][1]+=f[y][0];
	}
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		v[x]=1;
		son[y].push_back(x);
	}
	int root;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    if(!v[i]){
	    	root=i;
	    	break;
		}
		dp(root);
		cout<<max(f[root][0],f[root][1])<<endl;
}

#一名爱玩狂铁的oier#