二叉树
「二叉树 binary tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的
分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含：值、左子节点引用、右子节点引用。
/* 二叉树节点结构体 */
typedef struct TreeNode {
int val; // 节点值
int height; // 节点高度
struct TreeNode *left; // 左子节点指针
struct TreeNode *right; // 右子节点指针
} TreeNode;
/* 构造函数 */
TreeNode *newTreeNode(int val) {
TreeNode *node;
node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
node->val = val;
node->height = 0;
node->left = NULL;
node->right = NULL;
return node;
}
每个节点都有两个引用（指针），分别指向「左子节点 left‑child node」和「右子节点 right‑child node」，
该节点被称为这两个子节点的「父节点 parent node」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子
节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树 left subtree」，同理可得「右子树 right subtree」。
在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。如图 7‑1 所示，如果将“节点 2”视为父
节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，
右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”
7.1.1 二叉树常见术语
二叉树的常用术语如图 7‑2 所示。
‧「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
‧「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 None 。
‧「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
‧ 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
‧ 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
‧ 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
‧ 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
‧ 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会
将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
7.1.2 二叉树基本操作
-
初始化二叉树
与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。// === File: binary_tree.c ===
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5; -
插入与删除节点
与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7‑3 给出了一个示例。
// === File: binary_tree.c ===
/* 插入与删除节点 */
TreeNode *P = newTreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;
需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该
节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实
现有实际意义的操作。
7.1.3 常见二叉树类型
- 完美二叉树
「完美二叉树 perfect binary tree」所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 0 ，其余所
有节点的度都为 2 ；若树高度为 ℎ ，则节点总数为 2
ℎ+1 − 1 ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常
见的细胞分裂现象。
请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」
- 完全二叉树
如图 7‑5 所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
-
完满二叉树
如图 7‑6 所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
-
平衡二叉树
如图 7‑7 所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
7.1.4 二叉树的退化
图 7‑8 展示了二叉树的理想与退化状态。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节
点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。
‧ 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
‧ 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至