csp-j题解
第一题:小苹果
原题洛谷P9748
题目描述
小 Y 的桌子上放着 \(n\) 个苹果从左到右排成一列,编号为从 \(1\) 到 \(n\)。
小苞是小 Y 的好朋友,每天她都会从中拿走一些苹果。
每天在拿的时候,小苞都是从左侧第 \(1\) 个苹果开始、每隔 \(2\) 个苹果拿走 \(1\) 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。
小苞想知道,多少天能拿完所有的苹果,而编号为 \(n\) 的苹果是在第几天被拿走的?
输入格式
输入的第一行包含一个正整数 \(n\),表示苹果的总数。
输出格式
输出一行包含两个正整数,两个整数之间由一个空格隔开,分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 \(n\) 的苹果是在第几天。
样例 #1
样例输入 #1
8
样例输出 #1
5 5
提示
【样例 \(1\) 解释】
小苞的桌上一共放了 \(8\) 个苹果。
小苞第一天拿走了编号为 \(1\)、\(4\)、\(7\) 的苹果。
小苞第二天拿走了编号为 \(2\)、\(6\) 的苹果。
小苞第三天拿走了编号为 \(3\) 的苹果。
小苞第四天拿走了编号为 \(5\) 的苹果。
小苞第五天拿走了编号为 \(8\) 的苹果。
【样例 \(2\)】
见选手目录下的 apple/apple2.in 与 apple/apple2.ans。
【数据范围】
对于所有测试数据有:\(1\leq n\leq 10^9\)。
测试点 | \(n\leq\) | 特殊性质 |
---|---|---|
\(1\sim 2\) | \(10\) | 无 |
\(3\sim 5\) | \(10^3\) | 无 |
\(6\sim 7\) | \(10^6\) | 有 |
\(8\sim 9\) | \(10^6\) | 无 |
\(10\) | \(10^9\) | 无 |
特殊性质:小苞第一天就取走编号为 \(n\) 的苹果。 |
思路
这题还是很简单的,稍微模拟一下就看的出来规律了
先对题意进行模拟
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
第一天 | 1 | 1 | 1 | ||||||
第二天 | 1 | 1 | |||||||
第三天 | 1 | 1 | |||||||
第四天 | 1 | ||||||||
第五天 | 1 |
然后开始打暴力模拟题意 就会TLE
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,a[N],day,day2;
int main(){
freopen("apple.in","r",stdin);
freopen("apple.out","w",stdout);
cin>>n;
while(1){
int out=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!a[i]){
out++;
if(out%3==1) a[i]=1;
}
}
day++;
if(a[n]==1)
{
cout<<day<<endl;
break;
}
}
while(n){
n=n-(n-1)/3-1;
day2++;
}
cout<<day2;
return 0;
}
结果如下
(好像是我的问题?)
这暴力比我的正解难打多了
分析一下
求几天取完很简单,每天会取走(n-1)/3+1个苹果,将原来的长度减去每天取走的长度,直到长度为0,用了几天就是几天。
第 \(n\) 个苹果第几天被取走可以这样想
题目里有这样一句话
每天在拿的时候,小苞都是从左侧第 \(1\) 个苹果开始、每隔 \(2\) 个苹果拿走 \(1\) 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。
于是我们自然的想到,每次取完苹果后剩下的苹果会形成一个新的更短的序列
比如:一开始有 $ 9 $ 个苹果,我们要取第 $ 9 $ 个
在第一天取完后,就变为:有 \(6\) 个苹果,我们要取第 $ 6 $ 个
在第二天取完后,就变为:有 \(4\) 个苹果,我们要取第 \(4\) 个
………………
依次递推,直到恰好取到最后一个苹果
于是我们想:当最后一个苹果位于什么位置时,恰好能被取得
根据题意,易得:当序列长度为k * 3 + 1时,即最后一个苹果位于k * 3 + 1时刚好能被取到(k为整数)
那么代码如下
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main() {
freopen("apple.in","r",stdin);
freopen("apple.out","w",stdout);
int n,tn=1,day=0;
scanf("%d", &n);
int m = n;
while ((m - 1) % 3 != 0) {
tn++;
m = m - (m - 1) / 3 - 1;
}
while (n) {
day++;
n = n - (n - 1) / 3 - 1;
}
printf("%d %d", day, tn);
return 0;
}
结果如下:
可以看出来基本在TLE边缘
时间复杂度约为O(2*logn),两个while循环是可以优化成一个的
如下
#include <iostream>
#include <cstdio>
int n, tn = 1, day = 0, k;
using namespace std;
int main()
{
freopen("apple.in", "r", stdin);
freopen("apple.out", "w", stdout);
scanf("%d", &n);
while (n)
{
if ((n-1) %3 != 0 &&k == 0)
tn++;
else
k = 1;
day++;
n = n - (n - 1) / 3 - 1;
}
printf("%d %d", day, tn);
return 0;
}
结果如下
500-650毫秒间,比较安全
第二题:公路
原题洛谷P9749
[CSP-J 2023] 公路
题目描述
小苞准备开着车沿着公路自驾。
公路上一共有 \(n\) 个站点,编号为从 \(1\) 到 \(n\)。其中站点 \(i\) 与站点 \(i + 1\) 的距离为 \(v_i\) 公里。
公路上每个站点都可以加油,编号为 \(i\) 的站点一升油的价格为 \(a_i\) 元,且每个站点只出售整数升的油。
小苞想从站点 \(1\) 开车到站点 \(n\),一开始小苞在站点 \(1\) 且车的油箱是空的。已知车的油箱足够大,可以装下任意多的油,且每升油可以让车前进 \(d\) 公里。问小苞从站点 \(1\) 开到站点 \(n\),至少要花多少钱加油?
输入格式
输入的第一行包含两个正整数 \(n\) 和 \(d\),分别表示公路上站点的数量和车每升油可以前进的距离。
输入的第二行包含 \(n - 1\) 个正整数 \(v_1, v_2\dots v_{n-1}\),分别表示站点间的距离。
输入的第三行包含 \(n\) 个正整数 \(a_1, a_2 \dots a_n\),分别表示在不同站点加油的价格。
输出格式
输出一行,仅包含一个正整数,表示从站点 \(1\) 开到站点 \(n\),小苞至少要花多少钱加油。
样例 #1
样例输入 #1
5 4
10 10 10 10
9 8 9 6 5
样例输出 #1
79
提示
【样例 1 解释】
最优方案下:小苞在站点 \(1\) 买了 \(3\) 升油,在站点 \(2\) 购买了 \(5\) 升油,在站点 \(4\) 购买了 \(2\) 升油。
【样例 2】
见选手目录下的 road/road2.in 与 road/road2.ans。
【数据范围】
对于所有测试数据保证:\(1 \leq n \leq 10^5\),\(1 \leq d \leq 10^5\),\(1 \leq v_i \leq 10^5\),\(1 \leq a_i \leq 10^5\)。
测试点 | \(n \leq\) | 特殊性质 |
---|---|---|
\(1\sim 5\) | \(8\) | 无 |
\(6\sim 10\) | \(10^3\) | 无 |
\(11\sim 13\) | \(10^5\) | A |
\(14\sim 16\) | \(10^5\) | B |
\(17\sim 20\) | \(10^5\) | 无 |
- 特殊性质 A:站点 \(1\) 的油价最低。
- 特殊性质 B:对于所有 \(1 \leq i < n\),\(v_i\) 为 \(d\) 的倍数。
思路
一眼贪心
假设现在公路是有n个加油站,现在小苞位于\(a\)加油站,后面有\(m\)个加油站,每个加油站加油的价格都不相同
1.如果后面\(m\)个加油站的加油的价格都比\(a\)加油站贵,那么直接加到恰好能走完全程的油,因为后面的加油站无论在那个停下加油都会更贵
2.如果后面的\(m\)个加油站中,第一个比\(a\)加油站加油费便宜的是\(b\)加油站,则在\(a\)加油站加足量的油恰好能到b加油站,到b加油站加油
每到一个加油站,执行上述两个操作直到走完全程
上述这些大概就是程序要做的
但其实每必要到一个点就把整条路都扫一遍
两种做法
- 1.记录加油所需的钱,与到达的加油站的价格进行比较,如果价格更低廉的话,就记录当前 加油站的价格,否则依然记录之前加油所需的钱,然后对油费进行计算
2.以1为起点的最长下降序列,就是提前找好在哪些地方加油 - 完全背包
1.1
需要注意的一点就是
每个站点只出售整数升的油
这样就会导致一个问题:到达下一个加油站可能油桶里的油会有剩余(比如样例1中1加油站到2加油站),再用两站之间的距离除油的价钱算得的油量会多出一些
所以为了解决这个问题,我们需要用一个变量 \(gv\) 来记录从第 \(1\) 个车站到第 \(i\) 个车站之间的距离,让后用 \(gv\) 减去已经加的油 \(tv\) 与每升油可以前进的距离 \(d\) 相乘的到的积,就可以的到实际上应加油支持走的路程
还有:不开 \(long long\) 见祖宗
代码如下:
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
long long n,d,v[N],a[N],w,x=N,tv,allv,gv;
int main(){
freopen("road.in","r",stdin);
freopen("road.out","w",stdout);
cin>>n>>d;
for(int i=1;i<=n-1;i++) cin>>v[i],allv+=v[i];
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1,v1;i<n;i++)
{
gv+=v[i];
x=min(x,a[i]);
v1=ceil((gv-tv*d)*1.0/d);
tv+=v1;
w+=x*v1;
}
cout<<w;
return 0;
}
结果如下
时间复杂度O(3*n) 稳过
1.2
没有写,以后有机会补上?
2.背包
我是想不到用背包做,这里是题解区dalao的东西
想到了也实现不来
原作者xvl_
在 dp 之前,我们需要明确以下几个东西:
状态的表示,状态转移方程,边界条件跟答案的表示。
状态的表示 $ dp_i $ 表示到达第 \(i\) 个站点所需要的最少钱数, \(w_i\) 表示在使用最少钱数到达第 \(i\) 个站点时多余的路程。
状态转移方程
\(dp_i=dp_{i-1}+(v_{i-1}-w_{i-1})/d*premin(i-1)\)
\(w_i=(v_{i-1}-w_{i-1})/d-v_{i-1}+w_{i-1}\)
其中 \(premin(i-1)\) 表示前 \(i\) 个站点中最小的油价。
边界条件
\(dp_i=0\)
\(w_i=0\)
答案的表示
\(dp_n\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll n, d, ans;
ll v[100005], a[100005], dp[100005], pm[100005], w[100005];
int main() {
freopen("road.in", "r", stdin);
freopen("road.out", "w", stdout);
ios :: sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> n >> d;
pm[0] = 1e18;
for (int i = 1; i < n; i++) cin >> v[i];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> a[i];
pm[i] = min(pm[i - 1], a[i]);
}
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + ceil(1.0 * (v[i - 1] - w[i - 1]) / d) * pm[i - 1];
w[i] = ceil(1.0 * (v[i - 1] - w[i - 1]) / d) * d - (v[i - 1] - w[i - 1]);
}
cout << dp[n];
return 0;
}
结果如下:
第三题:一元二次方程
原题洛谷P9750
[CSP-J 2023] 一元二次方程
题目背景
众所周知,对一元二次方程 \(ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)\),可以用以下方式求实数解:
- 计算 \(\Delta = b ^ 2 - 4ac\),则:
- 若 \(\Delta < 0\),则该一元二次方程无实数解。
- 否则 \(\Delta \geq 0\),此时该一元二次方程有两个实数解 \(x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}\)。
例如:
- \(x ^ 2 + x + 1 = 0\) 无实数解,因为 \(\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0\)。
- \(x ^ 2 - 2x + 1 = 0\) 有两相等实数解 \(x _ {1, 2} = 1\)。
- \(x ^ 2 - 3x + 2 = 0\) 有两互异实数解 \(x _ 1 = 1, x _ 2 = 2\)。
在题面描述中 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因数使用 \(\gcd(a, b)\) 表示。例如 \(12\) 和 \(18\) 的最大公因数是 \(6\),即 \(\gcd(12, 18) = 6\)。
题目描述
现在给定一个一元二次方程的系数 \(a, b, c\),其中 \(a, b, c\) 均为整数且 \(a \neq 0\)。你需要判断一元二次方程 \(a x ^ 2 + bx + c = 0\) 是否有实数解,并按要求的格式输出。
在本题中输出有理数 \(v\) 时须遵循以下规则:
-
由有理数的定义,存在唯一的两个整数 \(p\) 和 \(q\),满足 \(q > 0\),\(\gcd(p, q) = 1\) 且 \(v = \frac pq\)。
-
若 \(q = 1\),则输出
{p}
,否则输出{p}/{q}
,其中{n}
代表整数 \(n\) 的值; -
例如:
- 当 \(v = -0.5\) 时,\(p\) 和 \(q\) 的值分别为 \(-1\) 和 \(2\),则应输出
-1/2
; - 当 \(v = 0\) 时,\(p\) 和 \(q\) 的值分别为 \(0\) 和 \(1\),则应输出
0
。
- 当 \(v = -0.5\) 时,\(p\) 和 \(q\) 的值分别为 \(-1\) 和 \(2\),则应输出
对于方程的求解,分两种情况讨论:
-
若 \(\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0\),则表明方程无实数解,此时你应当输出
NO
; -
否则 \(\Delta \geq 0\),此时方程有两解(可能相等),记其中较大者为 \(x\),则:
-
若 \(x\) 为有理数,则按有理数的格式输出 \(x\)。
-
否则根据上文公式,\(x\) 可以被唯一表示为 \(x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r\) 的形式,其中:
- \(q _ 1, q _ 2\) 为有理数,且 \(q _ 2 > 0\);
- \(r\) 为正整数且 \(r > 1\),且不存在正整数 \(d > 1\) 使 \(d ^ 2 \mid r\)(即 \(r\) 不应是 \(d ^ 2\) 的倍数);
此时:
- 若 \(q _ 1 \neq 0\),则按有理数的格式输出 \(q _ 1\),并再输出一个加号
+
; - 否则跳过这一步输出;
随后:
- 若 \(q _ 2 = 1\),则输出
sqrt({r})
; - 否则若 \(q _ 2\) 为整数,则输出
{q2}*sqrt({r})
; - 否则若 \(q _ 3 = \frac 1{q _ 2}\) 为整数,则输出
sqrt({r})/{q3}
; - 否则可以证明存在唯一整数 \(c, d\) 满足 \(c, d > 1, \gcd(c, d) = 1\) 且 \(q _ 2 = \frac cd\),此时输出
{c}*sqrt({r})/{d}
;
上述表示中
{n}
代表整数{n}
的值,详见样例。如果方程有实数解,则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解,则输出
NO
。 -
输入格式
输入的第一行包含两个正整数 \(T\) , \(M\) ,分别表示方程数和系数的绝对值上限。
接下来 \(T\) 行,每行包含三个整数 \(a, b, c\)。
输出格式
输出 \(T\) 行,每行包含一个字符串,表示对应询问的答案,格式如题面所述。
每行输出的字符串中间不应包含任何空格。
样例 #1
样例输入 #1
9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1
样例输出 #1
1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2
提示
【样例 #2】
见附件中的 uqe/uqe2.in
与 uqe/uqe2.ans
。
【数据范围】
对于所有数据有:\(1 \leq T \leq 5000\),\(1 \leq M \leq 10 ^ 3\),\(|a|,|b|,|c| \leq M\),\(a \neq 0\)。
测试点编号 | \(M \leq\) | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
---|---|---|---|---|
\(1\) | \(1\) | 是 | 是 | 是 |
\(2\) | \(20\) | 否 | 否 | 否 |
\(3\) | \(10 ^ 3\) | 是 | 否 | 是 |
\(4\) | \(10 ^ 3\) | 是 | 否 | 否 |
\(5\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 是 | 是 |
\(6\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 是 | 否 |
\(7, 8\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 否 | 是 |
\(9, 10\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 否 | 否 |
其中:
- 特殊性质 A:保证 \(b = 0\);
- 特殊性质 B:保证 \(c = 0\);
- 特殊性质 C:如果方程有解,那么方程的两个解都是整数。
从未想过有一天会栽在一元二次方程上(数学老师看到我这题0分肯定笑死我)
分析
没什么好分析的
大模拟就对了