题意简述
你初始在 \((0,0)\)，每个时刻你能向八连通格子移动或不移动。
有 \(n\) 个怪物，怪物坐标已知，每个时刻怪物也能向八连通格子移动或不移动，而且会选择最终与你欧几里得距离最短的一种方案。
求你在什么时刻会被怪物抓住（你和怪物在同一格子内），或报告无解。
\(n\le 10^5,|x_i|,|y_i|\le 10^6\)。
分析
考虑时间一定的情况下判定能否被怪物抓住。
显然，由于你能走到八连通的格子，所以你能到达的范围是以出发点为中心，边长为 \(2t+1\) 的正方形，在第 \(t\) 时刻，你可以随意选择正方形的任意一点到达。怪物同理。
什么情况下你无论如何都会被抓住呢？显然由于怪物也能随意选择其正方形内的点到达，故若你的正方形内的所有点全部被怪物控制（即任意一点都在某个怪物的正方形内），那么你最终会被抓住。
接着考虑这样一个显然的事实：若你在 \(t\) 时刻会被抓住，那么你在 \(t+1\) 时刻必定会被抓住。若你在 \(t\) 时刻不会被抓住，那么你在 \(t-1\) 时刻也不会被抓住。
这个事实可以让我们二分答案。判定的话根据上文对是否被抓住的情况讨论，我们求出所有怪物的矩形面积并，并判断是否完全包含你的矩形（即你的矩形和怪物的矩形面积并的并不发生变化）；或者可以从下到上扫纵坐标，线段树维护横坐标，离不离散化都无所谓，当进入到一个怪物的矩形时给矩形横坐标范围区间 +1，离开时区间 -1，若存在你的矩形中的某纵坐标满足该纵坐标之下的你所控制的横坐标下有 0，那说明该点不会被控制，就有解，否则无解。
时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)，若采取第二种写法且使用离散化：
- 记得离散化时给相邻横坐标之差 \(\ge 2\) 的之间插入一个横坐标，表示两个之间是否被覆盖。
- 将数组开到 \(4\times10^5\)，线段树要开到 \(1.6\times10^6\)。
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//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
const int SIZE=1<<21;
char ibuf[SIZE],*S,*T;
inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
const int SIZE=1<<21;
char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
int y=0;char z[40];
while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=4e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
int X[maxn],Y[maxn];
int d[maxn<<2],tag[maxn<<2];
#define mid (l+r>>1)
void bd(int l,int r,int p){
d[p]=tag[p]=0;
if(l==r)return;
bd(l,mid,lson(p)),bd(mid+1,r,rson(p));
}
void pu(int p){d[p]=min(d[lson(p)],d[rson(p)]);}
void pt(int p,int v){d[p]+=v,tag[p]+=v;}
void pd(int p){
if(tag[p]){
pt(lson(p),tag[p]),pt(rson(p),tag[p]);
tag[p]=0;
}
}
void upd(int ll,int rr,int v,int l,int r,int p){
if(ll>rr)return;
if(ll<=l&&r<=rr)return pt(p,v);
pd(p);
if(ll<=mid)upd(ll,rr,v,l,mid,lson(p));
if(rr>mid)upd(ll,rr,v,mid+1,r,rson(p));
pu(p);
}
#undef mid
int arr[maxn],brr[maxn],len,_len,m;
int L[maxn],R[maxn],D[maxn],U[maxn];
vector<int>in[maxn],out[maxn];
void pre(int g){
rep(i,0,n)L[i]=X[i]-g,R[i]=X[i]+g,D[i]=Y[i]-g,U[i]=Y[i]+g;
len=0;rep(i,0,n)brr[++len]=L[i],brr[++len]=R[i];
sort(brr+1,brr+len+1);len=unique(brr+1,brr+len+1)-(brr+1);
_len=len;len=1;arr[len]=brr[1];
rep(i,2,_len){
if(brr[i]-brr[i-1]>=2)arr[++len]=brr[i-1]+1;
arr[++len]=brr[i];
}
rep(i,0,n)L[i]=lower_bound(arr+1,arr+len+1,L[i])-arr,R[i]=lower_bound(arr+1,arr+len+1,R[i])-arr;
m=len,len=0;rep(i,0,n)brr[++len]=D[i],brr[++len]=U[i];
sort(brr+1,brr+len+1);len=unique(brr+1,brr+len+1)-(brr+1);
_len=len;len=1;arr[len]=brr[1];
rep(i,2,_len){
if(brr[i]-brr[i-1]>=2)arr[++len]=brr[i-1]+1;
arr[++len]=brr[i];
}
rep(i,0,n)D[i]=lower_bound(arr+1,arr+len+1,D[i])-arr,U[i]=lower_bound(arr+1,arr+len+1,U[i])-arr;
rep(i,1,n)L[i]=max(L[i],L[0]),R[i]=min(R[i],R[0]),D[i]=max(D[i],D[0]),U[i]=min(U[i],U[0]);
rep(i,D[0],U[0])in[i].clear(),out[i].clear();
rep(i,1,n)if(D[i]<=U[i])in[D[i]].pb(i),out[U[i]].pb(i);
}
bool check(int g){//检查这个人是否会死
pre(g);
bd(L[0],R[0],1);
rep(i,D[0],U[0]){
for(int u:in[i])upd(L[u],R[u],1,L[0],R[0],1);
if(d[1]==0)return 0;
for(int u:out[i])upd(L[u],R[u],-1,L[0],R[0],1);
}
return 1;
}
void solve_the_problem(int test_case){
X[0]=Y[0]=0;
rep(i,1,n)X[i]=rd(),Y[i]=rd();
int l=0,r=2e6,res=-1;
while(l<=r){
int mid=l+r>>1;
if(check(mid))res=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
printf("Case %d: ",test_case);
if(res==-1)puts("never");else write(res,10);
}
bool Med;
signed main(){
// freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
// fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
int _=1;while(~(n=rd()))solve_the_problem(_++);
}