题解

\(BSGS\)（拔山盖世）

• 其实叫 \(Baby\) \(Step\) \(Giant\) \(Step\) （大步小步）\(qwq\) ，事实上还有 \(ex\) \(BSGS\) ，但是这里只写 \(BSGS\) 。
• 当 \(\gcd(x,y)=1\) 时， \(BSGS\) 可以用 \(\sqrt n\) 的时间复杂度求解 \(\large y^x\equiv z\pmod z\) 的问题。（原根是 \(\large x^a\equiv z\pmod p\) ）
• 基本的思路就是，设 \(x=am-b\) ，其中 \(m=\lceil\sqrt p\rceil\) ， \(b<m\) ，得出 \(\large y^{am-b}\equiv z\pmod p\) 继续得出 \(\large y^{am}\equiv zy^b\pmod p\) 。
• 用哈希或 \(map\) 存下 \(zy^b\) 的所有值，再枚举 \(y^{am}\) 是否可以与 \(zy^b\) 的值相等。显然，如果有数可以满足，就是有解的，否则无解。
• map复杂度 \(O(\sqrt n\log n)\) ，哈希复杂度 \(O(\sqrt n)\) 。

题解

• \(t=1\) 和 \(t=2\) 的情况很好判断，\(t=1\) 时写一个快速幂就好了， \(t=2\) 时也不难，用 \(exgcd\) 。首先 \(\large xy\equiv z\pmod P\) ， 于是很容易得出 \(\large xy+iP=Z+jp\) 。所以 \(\large xy+(i-j)P=Z\) 。很明显你也看出来了， \(\large ax+by=\gcd(a,b)\) 。因为这里 \(P\) 是个质数，所以可以把 \(\gcd(a,b)\) 看成 \(1\) 。 之后就将 \(x,y\) 扩大 \(Z\) 倍，就得到了 \(\large ax+by=Z\) 。再找出最小非负整数解即可。
• \(t=3\) 直接套 \(BSGS\) 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N (10000010)
#define int long long
using namespace std;
namespace IO
{
    #define ll long long
    const int MAX=1<<25;
    char buf[MAX],*p1=buf,*p2=buf;
    char obuf[MAX],*o=obuf;
    #define gc()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
    //template<typename T>
    //inline T read()
    inline int read()
    {
        int x=0;bool f=1;
        char c=gc();
        for(;c<48||c>57;c=gc())if(c=='-')f=0;
        for(;c>=48&&c<=57;c=gc())x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
        return f?x:~x+1;
    }
    void print(ll x){if(x>9)print(x/10);*o++=(x%10)+'0';}
    void pit(ll x){if(x<0)*o++='-',x=~x+1;print(x);}
    void write(ll x,char end){pit(x);*o++=end;}
    void flush(){fwrite(obuf,o-obuf,1,stdout);}
    #undef ll
}
using IO::read;using IO::write;using IO::flush;
int n,m,t,P,q,d;
int x,y,k,ans,possible,lon;
int mod[N],a[N],gt[N],nth_mod[N];
int len,prime[700010],phi[N];//线性筛欧拉函数
short mu[N];
int mtot;
bitset<N>vis;
int jc[N];
long long inv[N];//乘法逆元
inline int max(int x,int y){return x>y?x:y;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
inline void swap(int &x,int &y){int tmp=x;x=y;y=tmp;}
int e[N],siz[N];
long long qpow(long long x,int b,int P=P)
{
    long long ans=1;
    for(;b;b>>=1){if(b&1)ans=(ans*x)%P;x=(x*x)%P;}
    return ans;
}//O(log(b))
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b*x);
    return d;
}//O(max(a,b))
int ola(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i==0)ans=ans/i*(i-1);
        for(;n%i==0;n/=i);
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}//O(sqrt(n))
void eular(int n)//欧拉筛
{
    //memset(vis,0,sizeof(vis));
    phi[1]=1;
    for(int i(2);i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++len]=i,phi[i]=(i-1);
        for(int j(1);j<=len&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))
                {phi[i*prime[j]]=(phi[i]*prime[j]);break;}
            else phi[i*prime[j]]=(phi[i]*(prime[j]-1));
        }
    }
}//O(n)
void mobius(int n)
{
    //memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1]=1;
    for(int i(2);i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])prime[++mtot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j(1);j<=mtot&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j])){mu[i*prime[j]]=0;break;}
            mu[i*prime[j]]=~mu[i]+1;
        }
    }
}//O(n)
void eular_mobius(int n)
{
    //memset(vis,0,sizeof(vis));
    mu[1]=phi[1]=1;
    for(int i(2);i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])prime[++len]=i,phi[i]=(i-1),mu[i]=-1;
        for(int j(1);j<=len&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))
            {
                phi[i*prime[j]]=(phi[i]*prime[j]);
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=(phi[i]*(prime[j]-1));
            mu[i*prime[j]]=~mu[i]+1;
        }
    }
}
void niyuan1(int n,int P=P)//乘法逆元
{
    inv[1]=1;
    for(int i(2);i<=n;++i)inv[i]=((P-P/i)*inv[P%i])%P;
}//O(n)
int inv_it(int a,int P=P)//O(log(a))
{
    int d(exgcd(a,P,x,y));
    return(x%P+P)%P;
}
int C(int n,int m,int P=P)
{
    if(m>n)return 0;
    int a(1),b(1);
    for(int i(n-m+1);i<=n;++i)a=(a*i)%P;
    for(int i(2);i<=m;++i)b=(b*i)%P;
    return(a*qpow(b,P-2,P))%P;
}
int lucas(int n,int m,int P=P)
{return(!m)?1:(C(n%P,m%P,P)*lucas(n/P,m/P,P))%P;}
int excrt(int n)//扩展中国剩余定理
{
    int mul(mod[1]);ans=a[1];
    int x,y,c,d;
    for(int i(2);i<=n;++i)
    {
        x=y=0;
        c=(a[i]-ans%mod[i]+mod[i])%mod[i];
        d=exgcd(mul,mod[i],x,y);
        if(!(c%d))
            ans+=(((x+mod[i])%mod[i])*(c/d)%mod[i])*mul,
            mul=mul*mod[i]/gcd(mul,mod[i]),
            ans%=mul;
        else return -1;
    }
    return ans%mul;
}
int exlucas_jc(int n,int mod,int P=P)
{
    if(!n)return 1;
    int res(1);
    for(int i(1);i<=P;++i)//不含因子mod[now]
        if(i%mod)res=(res*i)%P;
    res=qpow(res,n/P,P);
    for(int i(1);i<=n%P;++i)if(i%mod)res=(res*i)%P;
    return(res*(exlucas_jc(n/mod,mod,P)))%P;
}
int cal(int n,int m,int mod,int P=P)
{
    int c1(exlucas_jc(n,mod,P));
    int c2(exlucas_jc(m,mod,P));
    int c3(exlucas_jc(n-m,mod,P));
    int cnt(0);
    for(int i(n);i;i/=mod)cnt+=(i/mod);
    for(int i(m);i;i/=mod)cnt-=(i/mod);
    for(int i(n-m);i;i/=mod)cnt-=(i/mod);
    return(((qpow(mod,cnt,P)*c1)%P*inv_it(c2,P))%P*inv_it(c3,P))%P;
}
inline int crt(int x,int mod,int P)
{
    return inv_it(P/mod,mod)*(P/mod)*x;
}
int exlucas(int n,int m,int now,int P)
{return(crt(cal(n,m,nth_mod[now],mod[now]),mod[now],P));}
namespace hs
{
    int nhs,mhs,hs[100010],to[100010],nxt[100010];
    int mod=98317,head[100010],cnmhs;
    void clean(){memset(head,0,sizeof(head));}
    void add(int x,int P=mod)
    {
        hs[++cnmhs]=x,to[cnmhs]=P,x%=mod,
        nxt[cnmhs]=head[x],head[x]=cnmhs;
    }
    int find_x(int x)
    {
        for(int i(head[x%mod]);i;i=nxt[i])
            if(hs[i]==x)return to[i];
        return -1;
    }
}
using namespace hs;
int bsgs(int x,int y,int P=P)
{
    if(!(x%P))return -1;
    x%=P,y%=P;
    if(y==1)return 0;
    int Z(sqrt(P)+1);
    int xx(y),yy;
    hs::clean();
    for(int i(0);i<Z;++i,xx=(xx*x)%P)hs::add(xx,i);
    yy=qpow(x,Z),xx=1;
    for(int i(1),k;i<=Z;++i)
    {
        xx=(xx*yy)%P,k=hs::find_x(xx);
        if(k!=-1)return i*Z-k;
    }
    return -1;
}
signed main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    m=read(),t=read();
    int sum(0),num(0);ans=1;
    if(t==1)
        for(int i(1);i<=m;++i)
        {
            n=read(),q=read(),P=read();
            cout<<qpow(n,q,P)<<'\n';
        }
    else if(t==2)
        for(int i(1);i<=m;++i)
        {
            n=read(),q=read(),P=read();
            d=exgcd(n,P,x,y);
            if(q%d)cout<<"Orz, I cannot find x!\n";
            else x*=q/d,y=P/d,cout<<(x%y+y)%y<<'\n';
        }
    else
        for(int i(1);i<=m;++i)
        {
            n=read(),q=read(),P=read();
            d=bsgs(n%P,q%P,P);
            if(d<0)cout<<"Orz, I cannot find x!\n";
            else cout<<d<<'\n';
        }
    flush();
    return 0;
}