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南外集训 2024.1.12 T3/AGC022F Checkers 加强版

时间:2024-01-14 20:57:16浏览次数:47  
标签:一层 2024.1 12 Checkers 奇数 符号 个数 儿子 DP

第一步转化比较套路,DP 设计需要很强的洞察力,最后的优化也很考验基本功。

有 \(n\) 个 \(n\) 维空间中的点,第 \(i\) 个点 \(x_i\) 满足 \(x_{i,i} = 1, x_{i, j} = 0(\forall i\neq j)\)。接下来进行 \(n - 1\) 次操作,每次任选两个点,将第一个点关于第二个点对称,然后删掉第二个点。求最后剩下点的坐标有多少种。答案对 \(M\) 取模。

\(1\le n\le 500, 10^4+7\le M\le 10^9+7\),且 \(M\) 是素数。

只需要考虑每个点的系数。注意到这个系数只会是 \(\pm 2^d\),也就是我们只关心在整个过程中它被作为第二个点合并了多少次,以及他被作为第一个点合并了奇数还是偶数次。将每一次合并的第二个数按照顺序挂在第一个数下面,形成一棵树,那么 \(d\) 就是这个点的深度,\(-1\) 的次数就是【它的儿子个数】加上【它到根的链上所有右侧的兄弟个数】。

考虑用 DP 做计数。在加入一层时需要知道当前层符号为 \(-1\) 和 \(+1\) 的具体个数。注意到一个点的符号还和自己的儿子个数有关,所以需要在 DP 状态中记录有关那些儿子个数为奇数的点的信息,然后在下一层满足这些要求。

注意到,如果一个点的儿子个数是偶数,那么在不考虑更下一层的情况下,所有它的儿子恰好有一半和它符号相同,一半和它相反,所以我们并不关心这个点的符号到底是什么,实际上我们只关心有多少个点被挂在了偶数子树下,全部这些点中的一半符号是 \(-1\),一半是 \(1\)。而有奇数个儿子的点,可以把第一个儿子拆出来,后面的点也是一半一半分布。所以我们事实上只关心上一层有多少奇数个儿子的点,以及这些点的符号是什么。进一步思考,如果这些奇数个儿子的点中,既存在符号为 \(-1\) 的又存在符号为 \(1\) 的,那么直接把其中一个的第一个儿子摘下来挂到另一个上面,那么上一层和这一层的 \(-1\) 和 \(1\) 个数都完全不变,如果我们先不急着分配标号,就会发现这样调整完全不影响计数。所以可以直接要求上一层所有有奇数个儿子的所有点,它们的符号都一样。

有了上一段的一系列强有力的结论,我们可以设计出 DP 状态:\(f_{i,j}\) 表示前几层总共 \(i\) 个元素,最后一层有 \(j\) 个点希望有奇数个儿子。不妨设上一层有奇数个儿子的这些点最终的符号都是 \(+\),那么它的儿子的原始符号是 \(-\),总共个 \(j\),同时枚举下一层还有 \(x\) 对 \(\pm 1\),这样我们得到了 \(x+j\) 个 \(-\) 和 \(x\) 个 \(+\),我们接下来枚举有 \(y\) 个 \(-\) 被转变成 \(+\)(\(y<0\) 表示有 \(+\) 被转变为 \(-\)),这样 \(y\in [-x, x+j]\)。我们最终获得了 \(j+x-y\) 个 \(-\) 和 \(x+y\) 个 \(+\),发生转变的点也就是有奇数个儿子的点个数是 \(|y|\)。那么写出转移方程:

\[\frac{1}{(j+x-y)!(x+y)!}\cdot f_{i, j} \to f_{i+j+2x, |y|} \]

方便起见我们拆掉组合数,最后再乘以 \(n!\) 即可。

这里我们已经得到了一种 \(\Theta(n^4)\) 做法,当然不能通过。接下来我们要通过分步预处理将这个 DP 优化成 \(\Theta(n^3)\)。考虑对于每个 \(f_{i,j}\),枚举 \(x-y = d_1\),将 \(\frac{1}{(j+d_1)!}\cdot f_{i,j}\) 贡献到 \(g_{i+j, x-y}\),接下来枚举 \(g_{s, d_1}\) 以及 \(d_2 = x+y\),这时候我们可以通过 \(d_1, d_2\) 算出 \(x,y\) 的具体数值,将 \(\frac{1}{d_2!}\cdot g_{s, d_1}\) 贡献到 \(f_{s+2x,|y|}\)。时间复杂度 \(\Theta(n^3)\)。

标签:一层,2024.1,12,Checkers,奇数,符号,个数,儿子,DP
From: https://www.cnblogs.com/kyeecccccc/p/17964166

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