复旦大学2023--2024学年第一学期高等代数I期末考试情况分析

一、期末考试成绩班级前十名的同学

褚乐一(91)、陈天乐(91)、文俊(90)、林加耀(90)、覃昊东(89)、高宇飞(88)、周家宏(85)、邓海斌(85)、陈康(85)、牛博彬(85)

二、总评成绩计算方法

平时成绩根据交作业的次数决定。本学期提交作业共13次，10次100分，少1次扣10分。

总评成绩=平时成绩*15%+期中考试成绩*15%+期末考试成绩*70%

三、期末卷面成绩及人数

四、最终等第成绩及人数

五、试卷命题分析

本次期末试卷的第一大题为8道选择题，主要考察学生对基本概念的理解程度和对定理结论以及作业中常见结论的熟悉程度；第二大题为8道填空题，它们与第三、四、五大题同为计算题，覆盖了整个高等代数I中所有重要的计算要点，这也是后续专业课程必需的计算基本功；第六、七、八大题同为证明题，其中第六大题是简单证明题，第七大题和第八大题是压轴证明题。遵循高等代数I的教学目标，试卷的前六大题共计80分，着重考察学生对基本概念的理解、基本计算的掌握以及证明推导能力的养成；最后两道较难的证明题，让各层次的学生尽情发挥，使卷面成绩出现必要的梯度。学生的卷面成绩说明本试卷难易度适中，设计合理，富有层次，具有较好的区分度。

六、学生成绩分析

从期末考试的卷面成绩来看，80分以上的同学占了50%；70分以上的同学占了77.9%；整个班级的平均分为75分。最终等第成绩也与期末卷面成绩保持一致，获得AB类的同学共占了96.5%。应该说数学学院本科23级同学（包括16名高年级转专业同学）在本次期末考试中取得了优异的成绩，交出了一份满意的答卷。

七、教学效果分析

下面我们依次对最后两道大题进行分析。

@第七大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/17954876）

本题主要考察学生对矩阵运算和行列式计算的掌握，大家在期末试卷中给出了四种不同的证法。事实上，第一种证法最本质，因为它可以推广到一般的情形（参考15级高代I每周一题第6题）；第二种方法最直接，因为它给出了逆阵的表达式；第三种和第四种证法虽然十分巧妙，但过度依赖于技巧。80%以上的同学对本题进行了证明尝试，但很多同学犯了如下错误：由 $B=A^{-1}$ 得到 $|A|\cdot B=A^*$, 从而把要证的结论化为 $A^*\begin{pmatrix} i_1\cdots i_r \\ i_1\cdots i_r \\ \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} i_{r+1}\cdots i_n \\ i_{r+1}\cdots i_n \\ \end{pmatrix}$。这种错误把矩阵和行列式混为一谈，实在不应该。

本题得分在8分以上的同学共有7人：覃昊东、文俊、周家宏、林加耀、高宇飞、褚乐一、陈天乐。

@第八大题（解答请参考 https://www.cnblogs.com/torsor/p/17954491）

本题主要考察学生对线性变换的像空间、核空间和不变子空间等相关方法技巧的掌握，有一半左右的同学进行了证明尝试，但基本停留在化简阶段，并没有找到解决问题的关键点。引用高代白皮书例 4.35 的结论：即 $\mathrm{Im}\varphi^m$ 和 $\mathrm{Im}\psi^m$ 在 $m$ 充分大之后保持稳定，这当然很重要，但更重要的是：要找到 $V$ 的一个不变子空间直和分解，使得 $\varphi^m,\psi^m$ 在这个直和分解下有简单的表示矩阵，这才是解决问题的关键点。很多同学犯了如下错误：由于 $\mathrm{Im}(\varphi^m+\psi^m)\subseteq\mathrm{Im}\varphi^m+\mathrm{Im}\psi^m$ 显然成立，故只要证明 $r(\varphi^m+\psi^m)=r(\varphi^m)+r(\psi^m)$ 即可。这种低级错误连交和空间维数公式都没记清楚，实在不应该。

本题得分在6分以上的只有覃昊东同学1人。

八、对23级同学的寄语与期待

本学期是我的高等代数课程荣获2020年首批国家级一流本科课程之后实施混合式教学的第六个学期。在周4学时的正课方面，高年级转专业学生进行线上学习；在周2学时的习题课方面，不仅要求所有学生利用周末提前学习高代习题课在线课程，而且在周一下午的线下习题课上，要求学生现场做题并上台讲解证明题。在正课和习题课上都实施混合式教学，经过本学期进一步的探索与实践，不仅增进了师生之间的交流与互动，而且激发了学生自主学习的动力，取得了良好的教学效果。

为了混合式教学的顺利开展，习题课老师沈洋博士后每个周末都和我仔细商讨习题课的练习题设计（包括50%的计算题和50%的证明题）；研究生助教金李洋、刘思睿和夏伟淳十分认真地批改每一次线下作业、线上作业和期中考试试卷等。数学学院23级同学以及高年级转专业同学能在本次期末考试中取得优异的成绩，除了同学们自身的努力拼搏之外，我相信也离不开教学团队每一位成员的辛勤付出！在此我谨代表全体学生对沈洋博士后、研究生助教金李洋、刘思睿和夏伟淳表示衷心的感谢！

虽然23级同学在本次期末考试中取得了优异的成绩，但从最后两道压轴证明题来看，其实大家完成的并不理想。可能这两道压轴证明题比较难是一个原因，但本学期全程参与高代I每周一题活动的同学并不多（除了第1、2、3、5题之外，其余题目提交解答的人数均小于10），或许这也是大家一遇到难题，不能在短时间内找到解题思路的另一个原因吧。当然，做难题不是学习的目的，它只是加深对概念和定理的理解以及提高解题和应用能力的一种手段。希望大家下学期一定要认真学习习题课教学视频，精读高代白皮书，高质量完成习题课上的练习题，争取在做难题方面有长足的进步！

最后，衷心感谢23级同学一学期来的陪伴！期待春暖花开时，与大家重逢在高代II的课堂！