图像的腐蚀与膨胀

图像的腐蚀与膨胀

设集合的反射为，其定义如下

设集合按照点平移得到集合，其定义如下

其中操作如下图所示

集合 的补集是不包含于集合

集合 和 的差，表示为

作为中的集合 和,表示为 的 对 的腐蚀为

表面上，该式指出 对 的腐蚀是一个用 平移的 包含在 中的所有的点

和 是中的集合，表示为 的 对 的膨胀定义为

结构元 对集合 A 的开操作，表示为

因此， 对 的开操作就是 对 的腐蚀，紧接着用 对结果进行膨胀。
类似地，用结构元 对集合 的闭操作，表示为 A•B , 定义如下：

上式说明， 对集合 的闭操作就是简单地用 对 膨胀，紧接着用

由此可以得到关于开运算的几点结论：

1. 开运算能够除去孤立的小点，毛刺和小桥，而总的位置和形状不便。
2. 开运算是一个基于几何运算的滤波器。
3. 结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。
4. 不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出不同的特征。

同理也可以得到关于闭运算的几点结论：

1. 闭运算能够填平小湖（即小孔），弥合小裂缝，而总的位置和形状不变。
2. 闭运算是通过填充图像的凹角来滤波图像的。
3. 结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。
4. 不同结构元素的选择导致了不同的分割。