1. 如果环 R 带乘法单位元 1，对任意 a ∈ R，请证明 −a = (−1)a。
证明：
−a ：a 的加法逆元，
(−1)⋅a ： a 的乘法逆元。
0a=0a+0a
0a=0
0a=(-1+1)a=(-1)a+a
(-1)a+a=0
(-1)a=-a
得证
2. 如果任取环 R 中的元素 x 都满足 x 2 = x，请证明环 R 是交换环。
证明：要证对于 R 中的任意元素 a 和 b，都有 ab=ba。
对于(a+b)2， 有：
(a+b)2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ba+b2
由于 x2=x，有
(a+b)2
=a2+ab+ba+b2
=a+ab+ba+b
=a+2ab+b（x2=x）
可得ab+ba=2ab
ab+ba−2ab=0
ba−ab=0
ba=ab。
得证。
3. 请解释为什么 Zn 在加法上的子群都是 Zn 的子环
令H 是 Zn 中的一个加法子群。
-
∀a, b ∈ R′，有 ab ∈ R′： 对于∀a, b ∈ H，由于 H 是 Zn 的加法子群，加法上满足封闭性，a·b=a·a·……·a（b个a）∈H。
-
∀a, b ∈ R′，有 a − b ∈ R′： ∀a, b ∈ H，H 是 Zn 的加法子群，∀b∈H有逆元-b∈H，故由封闭性有a-b∈H
综上， Zn 在加法上的子群都是 Zn 的子环
14. 证明环 2Z 不与环 3Z 同构。
证明：假设有同构映射 Φ : 2Z → 3Z.
令a=2,
Φ(a+a)= Φ(a)+ Φ(a)
Φ(a2)=Φ(a)·Φ(a)
得Φ(2)=0或2
Φ为双射，Φ(0)=0一定满足
对于Φ(2)=2，2∉3Z
因此，同构映射不成立， 环 2Z 不与环 3Z 同构。