尺度函数与小波函数

时间：2023-12-25 10:03:55浏览次数：30

尺度函数与小波函数

尺度函数

设存在函数
$尺度函数与小波函数_图像处理$
对所有的 $尺度函数与小波函数_向量空间_02$ , $尺度函数与小波函数_向量空间_03$ 和 $尺度函数与小波函数_向量空间_04$ 都成立。其中 $尺度函数与小波函数_向量空间_05$ 决定了 $尺度函数与小波函数_向量空间_06$ 沿 $尺度函数与小波函数_向量空间_07$ 轴的位置， $尺度函数与小波函数_向量空间_02$ 决定了 $尺度函数与小波函数_向量空间_06$ 的宽度,即它沿 $尺度函数与小波函数_向量空间_07$ 轴宽或窄。项 2 $尺度函数与小波函数_向量空间_11$ 控制函数的幅度。由于 $尺度函数与小波函数_向量空间_06$ 的形状随 $尺度函数与小波函数_向量空间_02$ 发生变化，所以 $尺度函数与小波函数_向量空间_14$ 称为尺度函数。

设存在一个特定的值 $尺度函数与小波函数_向量空间_15$ ，则可以得到集合 $尺度函数与小波函数_向量空间_16$ 是集合 $尺度函数与小波函数_图像处理_17$ 的一个子集。其中可以把由 $尺度函数与小波函数_向量空间_18$ 张成的向量空间定义为 $尺度函数与小波函数_图像处理_19$ ，即
$尺度函数与小波函数_图像处理_20$
若 $尺度函数与小波函数_向量空间_21$ 在 $尺度函数与小波函数_向量空间_18$ 张成的空间中，则可以表示为
$尺度函数与小波函数_向量空间_23$
更一般地，对于任何 $尺度函数与小波函数_向量空间_02$ ，我们将 $尺度函数与小波函数_向量空间_05$ 上跨越的子空间表示为

$尺度函数与小波函数_图像处理_26$

由于 $尺度函数与小波函数_向量空间_02$ 决定了 $尺度函数与小波函数_向量空间_06$ 的宽或窄，即可以在x轴上表达更精细的特征，所以存在高分辨率的图像可以表示低分辨率的图像，即存在

$尺度函数与小波函数_图像处理_29$

尺度函数与小波函数_向量空间_30

其中 $尺度函数与小波函数_图像处理_31$

因为 $尺度函数与小波函数_图像处理_32$ ，所以可得 $尺度函数与小波函数_图像处理_33$

因为低分辨率的图像可以由高分辨率的图像所表示，所以存在
$尺度函数与小波函数_向量空间_34$
若 $尺度函数与小波函数_向量空间_35$ ，则可以写成
$尺度函数与小波函数_向量空间_36$
该递归等式中的系数 $尺度函数与小波函数_向量空间_37$ 称为尺度函数系数； $尺度函数与小波函数_图像处理_38$

其中简单尺度函数应符合多分辨率分析的四个条件

**MRA要求1：**其中对于不同整数平移的简单尺度函数应是正交的
**MRA要求2：**低尺度函数跨越的子空间应嵌入到高尺度跨越的子空间内
**MRA要求3：**唯一对于所有 $尺度函数与小波函数_向量空间_39$ 的通用的函数是 $尺度函数与小波函数_图像处理_40$
**MRA要求4：**任何函数都可以任意精度表示

小波函数

定义小波函数 $尺度函数与小波函数_向量空间_41$ 为 $尺度函数与小波函数_图像处理_42$ 与 $尺度函数与小波函数_向量空间_43$ 之差，其中
$尺度函数与小波函数_图像处理_44$
其中尺度函数与小波函数的关系如下图所示

尺度函数与小波函数_图像处理_45

其中 $尺度函数与小波函数_向量空间_46$ ，所以存在 $尺度函数与小波函数_向量空间_47$

其中， $尺度函数与小波函数_图像处理_48$ 表示空间的并集(类似于集合的并集)。 $尺度函数与小波函数_图像处理_42$ 中 $尺度函数与小波函数_向量空间_43$ 的正交补集是 $尺度函数与小波函数_向量空间_51$ , 且 $尺度函数与小波函数_向量空间_43$ 中的所有成员对于 $尺度函数与小波函数_向量空间_51$ 中的所有成员都正交。因此，

$尺度函数与小波函数_向量空间_54$

对所有适当的 $尺度函数与小波函数_向量空间_55$ 都成立。

索引可以将所有可度量的、平方可积的函数空间表示为

$尺度函数与小波函数_向量空间_56$

$尺度函数与小波函数_向量空间_57$

$尺度函数与小波函数_向量空间_58$

上述表达排除了尺度函数，仅采用小波进行表示

于是存在
$尺度函数与小波函数_图像处理_59$

其中 $尺度函数与小波函数_向量空间_60$ 是任意开始尺度。

因为小波空间位于相邻的较高分辨率的尺度空间中，即 $尺度函数与小波函数_图像处理_61$ ，所以任何小波函数可以使用尺度函数表示，即
$尺度函数与小波函数_向量空间_62$

其中 $尺度函数与小波函数_向量空间_63$ 被称为小波函数系数

因为整数小波彼此正交，且与他们的互补尺度函数正交，所以存在
$尺度函数与小波函数_图像处理_64$

标签：波函数,函数,尺度,其中,正交,MRA
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