1. 一些术语阐述
- 组成集合的每个事物叫做这个集合的元素或成员
- 仅含有一个元素的集合叫做单元素集合，有限个元素的集合叫有限集合，不是有限集合的叫无限集合或无穷集
- 有限集合的元素个数称为该元素的基数或势，集合A的基数记作\(|A|\)
- 外延公理
2. 子集全集与空集
1. 子集
2. 全集
3. 空集
4. 幂集
3. 集合的运算
环和，又叫对称差
4. 笛卡尔积
1. 有序对和无序对
2. 笛卡尔积
5. 关系
1. 关系及其表示
例题
2. 定义前域，值域
前域是第一集合的一个子集，值域是第二集合的一个子集
例题
3. 关系矩阵和关系图
例子
4. 自反与反自反
下图中R1既不是自反也不是反自反，R2是自反，R3是反自反
自反的关系矩阵的主对角线都为1，反自反的主对角线都为0
自反的关系图每个节点都有一个自己到自己的环，反自反则一个都没有
5. 对称与反对称
放到图里面就是
- 对称性：如果有a到b的边，则必有b到a的边
- 反对称性： 如果有a到b的边，则一定没有b到a的边
6. 传递关系
在关系图中，就是假设有一条a到b的路径(a可以经过若干边走到b),那么a,b之间一定有一条弧(一条有向边)
例子
6. 关系的合成
例子
R里面有<1,2>，S里面有<2,1>，所以RoS有<1,1>
R有<1,2>,S有<2,5>，所以RoS有<1,5>
R有<5,6>，S有<6,3>，所以RoS有<5,3>
7. 逆关系
例
8. 闭包
在给定的关系中，添加最少的元素，使其具有某种性质，则称添加后的集合为该性质上关系的闭包
-
自反闭包 r ( R ) : 包含R关系 , 向R关系中 , 添加有序对 , 变成自反的最小的二元关系
-
对称闭包 s ( R ) : 包含R关系 , 向R关系中 , 添加有序对 , 变成对称的最小的二元关系
-
传递闭包 t ( R ) : 包含R关系 , 向R关系中 , 添加有序对 , 变成传递的最小的二元关系
求闭包的例子
9. 等价关系
1. 集合的划分与覆盖
例子
是划分必然是覆盖
2. 细分
例
3. 等价关系
例
4. 等价类
例
5. 商集
10. 偏序关系
例
哈斯图
习惯上偏序集合用哈斯图表示
例1
例2
解答（注意偏序关系里面的<d,e>错了，应该是<d,c>）
最大元最小元
极大元极小元
上界和最小上界
下界和最大下界
11. 线序关系和良序关系
1. 线序关系
2. 良序关系
