有点时间补一下这玩意吧
首先先说明RMQ是一类问题, 指 区间最大最小值, 而ST表是解解决RMQ问题的一把手术刀
(手术刀, 锋利但不通用)
作用
O(logn)的预处理
O(1)的区间最大值查询
不可以更改区间数值
原理
原理是倍增
我们将设f[i][j]是从i处向外2^j格里面的最大值
因为任何区间长度len, 无论怎么分, 其最多只需要两个f[i][j]就可以完全覆盖它
len, 可以分成比他小的最大的2^n, 那么len - 2^n < 2^n, 如果不符合这个的话, n 就可以
继续往上加, 知道符合这个等式, 而且不能等于, 如果等于那么len = 2^n +2^n = 2^(n + 1),
n依旧可以往上加, 因此我们知道我们只需要两个f[i][j]就可以完全覆盖len这个区间)
实现
问题来了怎么实现它
预处理
也很简单, 根据之前倍增lca的思想, 即f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1], 即我们把一步
拆成两步走, 有了递推式, 那么求出它就很简单了
而求出ST表, 也就是预处理就是下面代码
for (int j = 0; j < M; j ++ ) // M是logn上取整, 即包含整个n
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i ++ )
if (j == 0) f[i][j] = w[i]; // 如果只跳一步, 那么最大值就是这个值它本身
else f[i][j] = max(f[i][j], f[f[i][j - 1]][j - 1]); // 注意是求最大值
这个时间复杂度很好判断, 最坏O(nlogn)
但是是很小的logn, 能从循环中看出来(手术刀)
因为有预处理, 所以是不能更改原数组的, 否则必须再次预处理(但这样就不如用线段树了)
查询
怎么查询呢？
你要知道, 最大值是可以累加贡献的, 如[1, 5]的最大值, 等于[1, 3]的最大值和[2, 5]的
最大值的最大值, 虽然2和3重复使用了, 但是答案是正确的, 即可以累加贡献
我们已经得到了f数组, 根据上面的性质, 那么就很简单了,
我们设lg[i]为logi下取整
那么从i到j之间的长度是len = j - i + 1
最大值就是, max(f[i][lg[len]], f[j - (1 << lg[i]) + 1][lg[len]]), 这句话你细品
j - (1 << lg[i]) + 1说一下, 这是代表这个区间开头, 比如[2, 5]里面有4个数, 你从5减4
得1, 但是你的区间是从2开始的, 所以要加上1, 由区间长度计算公式 j - i + 1 = len,
也可以得到i = j - len + 1这个式子
lg数组
上面提到了lg数组, lg[i]为logi下取整
为什么使用这个数组而不是, 直接log2(n)呢?
这里是为了保证查询的O(1), 如果调用log2()函数的话, 时间复杂度会增加, 而通过预处理
lg数组的方式, 就可以保证查询O(1)
lg数组一般预处理一遍即可, 是n的时间复杂度, 可以直接加在上面的预处理里面,
代码
int last = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
while (1 << last <= i) last ++ ;
lg[i] = last - 1;
}
ST表(跳表)
/*
中心思想: 倍增
设f[i][j]是从i处向外2^j格里面的最大值;
预处理是O(nlogn)
查询是O(1)的
无法修改
只能查询
像树状数组一样的"手术刀"
因为查询耗时O(1), 所以在"特殊情况"下没法被O(log)的线段树替代
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N = 200010, M = log2(N) + 1;
int n, m;
int w[N];
int f[N][M];
int lg[N];
void init()
{
for (int j = 0; j < M; j ++ )
for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i ++ )
if (j == 0) f[i][j] = w[i];
else f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
int last = 0;
for (int i = 1; i < N; i ++ ) // log数组, 这里的预处理是自己写的, 利用一个last能干好多事
{
while (1 << last <= i) last ++ ;
lg[i] = last - 1;
}
}
int query(int l, int r)
{
int len = r - l + 1;
return max(f[l][lg[len]], f[r - (1 << lg[len]) + 1][lg[len]]);
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> w[i];
init();
cin >> m;
while (m -- )
{
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << query(a, b) << endl;
}
return 0;
}
线段树
/*
线段树的话, 比较简单就不打注释了
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 200010;
int w[N];
int n, m;
struct Node
{
int l, r;
int maxv;
}tr[N * 4];
void pushup(int u)
{
tr[u].maxv = max(tr[u << 1].maxv, tr[u << 1 | 1].maxv);
}
void build(int u, int l, int r)
{
if (l == r) tr[u] = {l, l, w[l]};
else
{
int mid = l + r >> 1;
tr[u] = {l, r, -0x3f3f3f3f};
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(u);
}
}
int query(int u, int l, int r)
{
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].maxv;
else
{
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
int maxv = -0x3f3f3f3f;
if (l <= mid) maxv = query(u << 1, l, r);
if (r > mid) maxv = max(maxv, query(u << 1 | 1, l, r));
return maxv;
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
build(1, 1, n);
scanf("%d", &m);
while (m -- )
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%d\n", query(1, l, r));
}
return 0;
}