【笔记】判环

整理一下主流且比较好写的两种方法：

一、Tarjan（有无向图都推荐这种写法）

有向图就用强连通分量，无向图的话同样魔改一下：每一条边不能反着再走一遍。

有向图：

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define G(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e5+5;
struct node{ int v,ne; }e[M<<1];
int first[N],idx=0,dfn[N],low[N],n,m,scc[N],sum=0,num=0,cnt=0;
bool instk[N];
stack<int> stk;
inline void add(int x,int y){ e[++idx]=(node){y,first[x]}; first[x]=idx; }
inline void dfs(int u,int f){
	dfn[u]=low[u]=++cnt; instk[u]=1; stk.push(u);
	for(int i=first[u];i;i=e[i].ne){
		int v=e[i].v;
		if(!dfn[v]) dfs(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(instk[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		int x; ++num;
		do{
			x=stk.top();
			scc[x]=num;
			instk[x]=0;
			stk.pop();
		}while(x!=u); 
		++sum;
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n>>m; int u,v; 
	F(i,1,m) cin>>u>>v,add(u,v);
	F(i,1,n) if(!dfn[i]) dfs(i,0);
	cout<<sum<<'\n';
	F(i,1,n) cout<<scc[i]<<' ';
	return 0;
}

无向图：

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define G(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e5+5;
struct node{ int v,ne; }e[M<<1];
int first[N],idx=0,dfn[N],low[N],n,m,huan[N],sum=0,num=0,cnt=0;
bool instk[N];
stack<int> stk;
inline void add(int x,int y){ e[++idx]=(node){y,first[x]}; first[x]=idx; }
inline void dfs(int u,int f){
	dfn[u]=low[u]=++cnt; instk[u]=1; stk.push(u);
	for(int i=first[u];i;i=e[i].ne){
		int v=e[i].v; if(v==f) continue;
		if(!dfn[v]) dfs(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
		else if(instk[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		int x,sz=0; ++num;
		do{
			x=stk.top();
			huan[x]=num;
			instk[x]=0;
			++sz;
			stk.pop();
		}while(x!=u); 
		if(sz>1) ++sum;
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n>>m; int u,v; 
	F(i,1,m) cin>>u>>v,add(u,v),add(v,u);
	F(i,1,n) if(!dfn[i]) dfs(i,0);
	cout<<sum<<'\n';
	F(i,1,n) cout<<huan[i]<<' ';
	return 0;
}

二、Topsort

注意topsort一遍之后的图上得每一个点不一定都在环上。

简单来说，topsort 只能去掉进环的所有点和边，而不能去掉出环的点和边。

怎么解决能，此时就可以类似染色的标记每一个点，如果当前点或它的儿子继续往下走能遇到一个已经染过色的点的话，那它就真的在环上。否则不在。

有向图就是先 topsort ，再依次访问每个块，并标记真正在环上的点。

无向图的话魔改一下 topsort：改为“每次将入度为1的点加入队列中”。并且 dfs 时不允许 v 沿着来时的反边走回 u.

有向图:

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define G(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=2e5+5;
struct node{ int v,ne;}e[M<<1];
int first[N],huan[N],in[N],idx=0,n,m,num=0;
bool vis[N];
inline void add(int x,int y){ e[++idx]=(node){y,first[x]}; first[x]=idx; }
inline void topsort(){
	queue<int>q;
	F(i,1,n) if(!in[i]) q.push(i);
	while(q.size()){
		int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=1;
		for(int i=first[u];i;i=e[i].ne){
			int v=e[i].v;
			if(!(--in[v])) q.push(v);
		}
	}
}
inline void dfs(int u){
	vis[u]=1; int rp=0; 
	for(int i=first[u];i;i=e[i].ne) {
		int v=e[i].v;
		if(!vis[v]) {
			dfs(v);
			if(!huan[u] && huan[v]) huan[u]=huan[v];
			//注意不能直接huan[u]=huan[v] 
			//只要任意一个u的儿子在当前环上,那么u就在环上 
		}
		else huan[u]=num;
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int u,v;
	cin>>n>>m; F(i,1,m) cin>>u>>v,add(u,v),++in[v];
	topsort();
	F(i,1,n) if(!vis[i]) ++num,dfs(i);
	F(i,1,n) if(!huan[i]) huan[i]=++num;
	F(i,1,n) cout<<huan[i]<<' ';
	return 0;
}

无向图:

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
#define G(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=2e5+5;
struct node{ int v,ne;}e[M<<1];
int first[N],huan[N],in[N],idx=0,n,m,num=0;
bool vis[N];
inline void add(int x,int y){ e[++idx]=(node){y,first[x]}; first[x]=idx; }
inline void topsort(){
	queue<int>q;
	F(i,1,n) if(in[i]==1) q.push(i);
	while(q.size()){
		int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=1;
		for(int i=first[u];i;i=e[i].ne){
			int v=e[i].v;
			if(--in[v]==1) q.push(v);//区别1
		}
	}
}
inline void dfs(int u,int f){
	vis[u]=1; int rp=0; 
	for(int i=first[u];i;i=e[i].ne) {
		int v=e[i].v; if(v==f) continue;//区别2
		if(!vis[v]) {
			dfs(v,u);
			if(!huan[u] && huan[v]) huan[u]=huan[v];
			//注意不能直接huan[u]=huan[v] 
			//只要任意一个u的儿子在当前环上,那么u就在环上 
		}
		else huan[u]=num;
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	int u,v;
	cin>>n>>m; F(i,1,m) cin>>u>>v,add(u,v),add(v,u),++in[v],++in[u];
	topsort();
	F(i,1,n) if(!vis[i]) ++num,dfs(i,0);
	F(i,1,n) if(!huan[i]) huan[i]=++num;
	F(i,1,n) cout<<huan[i]<<' ';
	return 0;
}