原文链接：https://tecdat.cn/?p=34230

原文出处：拓端数据部落公众号

分析师：Luoyan Zhang

集成电路板等电子产品生产中，控制回焊炉各部分保持工艺要求的温度对产品质量至关重要。通过分析炉温曲线，可以检查和改善产品生产质量，提高产量和解决生产问题。高效温度曲线测试系统的必要组件包括：采集温度信息的热电偶传感器，采集数据的数据采集记录器，保护数据记录器的隔热箱以及最为重要的分析和保存所有温度数据的温度曲线测试软件。研究依据各焊接区域中心温度的炉温曲线来控制回焊炉各部分的温度以保证工艺要求。

任务/目标

通过对焊接区域的温度变化规律建立数学模型

问题进行简化，利用机理分析建立了热传导方程模型。设计最小二乘法拟合模型中，对问题进行数值模拟。最后基于最小二乘原理，在约束条件下建立炉温曲线的多目标优化模型。

数据源准备

利用MATLAB 程序解出待定的温度，时间，厚度参数系数，最终将新的温度和速度及厚度

建模

微分方程模型法：

数学微分法是指根据边际分析原理，运用数学上的微分方法，对具有曲线联系的极值问题进行求解，进而确定最优方案的一种决策方法。系统不能直接有关变量之间的直接关系一一函数表达式,但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式,这时往往采用微分关系式来描述该系统即建立微分方程模型。

最小二乘法模型：

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其它一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

线性规划：

线性规划是研究有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的要求背景作出最佳方式的规划，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳的条件。在总体计划中，用线性规划模型解决问题的思路是，在背景需求条件约束下，求允许的最大的传送带过炉速度。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

模型 检验

使用有限分差法中的 空间反演法，把炉温曲线当做已知条件，结合给出的传送带运行速度来确定数学模型中拟合的预测值分布和真实值内容要点：结果分析、检验；模型检验及模型修正； 结果表示如图该预测值与真实值的方差，标准差和极差的情况。

模型评价

优点：

1.在数据处理方面,我们详细分析了数据,规范了数据的格式和可用性。

2.最小二乘法有最优解唯一、求解方便的特点，用最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

3.在图像处理和显示上,我们采MATLAB作图,合效据的变化趋势,使问题结果加清晰,条理和直观。

4.模型公式方面,尽量贴近数学建模思想——“用最简单的方法解决最难问题“的思想。

缺点：

1.使用数值方法求解偏微分方程组，可能引入误差。

2.最小二乘法会将误差开平方，所以当某个预测值和真实值差别过大的时候，最小二乘法会愿意“牺牲”其他本来不错的数据点，使得整个拟合曲线受异常值扰动影响较

例如：

相应的炉温曲线如下：

给出各温区温度的设定值，求允许的最大传送带过炉速度。以约束条件为目标进行二维搜索：利用数值模拟优化问题，设定的温度时间的限定范围。使用MATLAB软件进行求解。

在各温区温度的设定值分别为182ºC（小温区1-5）、203ºC（小温区6）、237ºC（小温区7）、254ºC（小温区8-9），用MATLAB计算出允许的最大传送带过炉速度约为 Vmax=0.0133m/s。

  由于焊接区域的过高温度时间不宜过长，峰值温度不宜过高。提出炉温曲线中温度超过217℃至峰值温度的覆盖面积最小化。由焊接区域的厚度一定，综合覆盖面积最小化以及制程界限等约束条件。

联立不等关系式，由MATLAB进行数值分析可知，满足条件的传送带的过炉速度为0.0076m/s

各温区的设定温度如图：

关于分析师：

在此对Luoyan Zhang对本文所作的贡献表示诚挚感谢，她专注数学建模、数据采集领域。擅长MATLAB、SPSS。